Kombinatoryka to sztuka liczenia możliwości bez wypisywania wszystkiego ręcznie. Najważniejsze pytanie brzmi: czy kolejność ma znaczenie i czy elementy mogą się powtarzać?
Bo w zadaniach z prawdopodobieństwa największy problem często nie jest w samym prawdopodobieństwie, tylko w policzeniu: ile jest wszystkich możliwości i ile jest możliwości korzystnych.
Kombinatoryka daje do tego narzędzia. Zamiast wypisywać setki przypadków, rozpoznajesz typ sytuacji i używasz właściwego schematu.
Poziom: podstawowy + rozszerzenie. Na poziomie rozszerzonym częściej pojawiają się zadania mieszane, gdzie trzeba połączyć regułę mnożenia, kombinacje i warunki typu „co najmniej”, „dokładnie”, „bez powtórzeń”.
Słownictwo
Zawsze zaczynaj od dwóch pytań:
To rozdziela większość zadań.
| Sytuacja | Kolejność ma znaczenie? | Powtórzenia? | Typowy schemat |
|---|---|---|---|
| Ustawiamy osoby w kolejce | tak | nie | permutacje |
| Tworzymy kod PIN | tak | zwykle tak | wariacje z powtórzeniami |
| Wybieramy komisję | nie | nie | kombinacje |
| Losujemy kilka osób do ról | tak | nie | wariacje bez powtórzeń |
Najważniejsze wzory:
Permutacje n elementów:
Pₙ=n!
Wariacje bez powtórzeń:
Vₙᵏ=n!/(n−k)!
Wariacje z powtórzeniami:
Wₙᵏ=nᵏ
Kombinacje:
Cₙᵏ=n!/(k!(n−k)!)
Jeżeli nie pamiętasz wzoru, wróć do sensu: czy wybierasz, czy ustawiasz?
1. Podkreśl w treści słowa: wybieramy, ustawiamy, tworzymy kod, losujemy, kolejność, bez powtórzeń.
Przykład
Ile jest liczb trzycyfrowych o różnych cyfrach, które można utworzyć z cyfr 1, 2, 3, 4, 5? Krok 1: czy kolejność ma znaczenie?
- Uczeń widzi „wybieramy 3 osoby” i automatycznie używa wariacji — błąd, bo przy wyborze komisji kolejność zwykle nie ma znaczenia. - Uczeń zapomina o słowie „różnych” i pozwala na powtórzenia.
Na maturze często pytanie nie brzmi wprost: „oblicz kombinacje”. Zamiast tego dostajesz sytuację: - ile kodów można utworzyć, - ile jest sposobów ustawienia osób, - ile różnych składów komisji, - ile wyników losowania spełnia warunek.
Reguła mnożenia
Jeśli jedną decyzję można podjąć na a sposobów, a drugą na b sposobów, to razem jest a·b możliwości.