Schemat Bernoulliego i zastosowania w zadaniach

Bo wiele zadań typu „dokładnie 3 razy”, „co najmniej 2 sukcesy”, „ani razu”, „przynajmniej raz” da się rozwiązać jednym schematem zamiast wypisywać ogromną liczbę przypadków.

Schemat Bernoulliego jest bardzo ważny na rozszerzeniu, ale jego intuicja jest prosta: powtarzasz tę samą próbę kilka razy i liczysz, ile razy udał się sukces.

Poziom: rozszerzenie. W NexTutorze zostaje w materiale, ale w lekcji traktujemy go bardzo praktycznie: najpierw rozpoznanie zadania, potem wzór.

Schemat Bernoulliego działa, gdy spełnione są trzy warunki:

1. Mamy n powtórzeń tej samej próby.
2. Każda próba ma tylko dwa typy wyniku: sukces albo porażka.
3. Próby są niezależne i prawdopodobieństwo sukcesu p jest takie samo w każdej próbie.

Wtedy prawdopodobieństwo dokładnie k sukcesów w n próbach wynosi:

P(X=k)=Cₙᵏ · pᵏ · (1−p)ⁿ⁻ᵏ

Gdzie:

• n — liczba prób,
• k — liczba sukcesów,
• p — prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie,
• 1−p — prawdopodobieństwo porażki,
• Cₙᵏ — liczba sposobów wyboru, w których próbach pojawią się sukcesy.