Wartość oczekiwana — średni wynik na dłuższą metę, nie wróżba jednego losowania
Wartość oczekiwana to E(X) = suma iloczynów wartość·prawdopodobieństwo — średnia ważona, którą czyta się jako średni wynik z długiej serii, a nie prognozę jednej gry. Zanim policzysz, sprawdź warunek sumy prawdopodobieństw równej 1. W grach rozróżnij wygraną brutto od netto (minus wpisowe); o opłacalności decyduje znak E(netto).
Wzorzec
Wartość oczekiwana — średni wynik na dłuższą metę, nie wróżba jednego losowania
Kupujesz los za zł. Czy to się opłaca? Odpowiedzi nie da przeczucie, tylko jedna liczba: wartość oczekiwana wygranej. Mówi ona, ile średnio przypada na jedną grę, gdyby grać bardzo wiele razy. To nie przepowiednia pojedynczego losowania — w jednym możesz wygrać fortunę albo nic. To średnia z bardzo długiej serii, i właśnie ona rozstrzyga, czy loteria jest dla Ciebie, czy dla organizatora.
Otwórz figurę w nowej karcie ⤢Przykład
Po tej lekcji będziesz umieć
- Zapisać rozkład zmiennej losowej: jej wartości i prawdopodobieństwa
- Sprawdzić, że prawdopodobieństwa sumują się do
- Policzyć wartość oczekiwaną ze wzoru
- Odróżnić wygraną brutto (wypłatę) od netto (wypłata minus wpisowe)
- Ocenić, czy gra jest sprawiedliwa, korzystna czy niekorzystna dla gracza
- Zinterpretować jako średnią z długiej serii, a nie wynik jednej gry
Po co Ci to na maturze
To wymaganie zakresu podstawowego — podstawa programowa, dział XII Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka, punkt: oblicza wartość oczekiwaną, np. przy ustalaniu wysokości wygranej w prostych grach losowych i loteriach.
Zadanie łączy dwie umiejętności, które już masz: liczenie prawdopodobieństwa w modelu klasycznym i średnią ważoną. Wartość oczekiwana to średnia ważona wartości, w której wagami są prawdopodobieństwa. Dlatego to dobre zadanie „na koniec działu" — sprawdza, czy umiesz połączyć rachunek prawdopodobieństwa ze statystyką.
Jedno zdanie na start. to nie liczba, która „musi wypaść" w grze. To średni wynik, do którego zmierza przeciętna z coraz dłuższej serii powtórzeń.
Zmienna losowa i jej rozkład
Zmienna losowa X to wielkość, której wartość zależy od losowego doświadczenia: liczba oczek na kostce, wygrana w loterii, liczba orłów w trzech rzutach. Rozkład zmiennej to zestawienie wszystkich jej wartości x 1,x 2,\ldots,x n wraz z prawdopodobieństwami …
Wzór na wartość oczekiwaną
Wartość oczekiwana zmiennej losowej X to E(X)=x 1 p 1 + x 2 p 2 + \ldots + x n p n = \sum {i=1}^{n} x i p i Każdą wartość mnożysz przez jej prawdopodobieństwo i sumujesz iloczyny. To średnia ważona wartości x i z wagami p i — a ponieważ wagi sumują się do …
Wygrana brutto a netto — pułapka gier losowych
W grach i loteriach trzeba rozróżnić dwie wielkości: - wygrana brutto — kwota, którą wypłaca organizator (to, co „wygrywasz"); - wygrana netto — brutto minus wpisowe (koszt losu, stawka), czyli Twój rzeczywisty zysk lub strata. Do oceny opłacalności liczy …
Solver — jak liczyć wartość oczekiwaną
1. Nazwij zmienną losową — powiedz wprost, co mierzysz (wygraną, liczbę oczek, liczbę sukcesów).
Przykład
Przykład rozwiązany
Zadanie. W loterii los kosztuje 5 zł.
Zanim rozwiążesz zadanie — 12 pytań kontrolnych
1. Czy nazwałem zmienną losową i wiem, co mierzy?
Mini-praktyka — 8 zadań
1. Rzucamy symetryczną kostką.
Powtórka w 30 sekund
Wartość oczekiwana zmiennej losowej to E(X)=\sum x i p i — średnia ważona wartości, w której wagami są prawdopodobieństwa. Zanim policzysz, sprawdź \sum p i=1 .
Przykład
Kluczowe pojęcia
- Zmienna losowa X — wielkość, której wartość zależy od losowego doświadczenia. - Rozkład zmiennej — zestaw jej wartości x i z prawdopodobieństwami p i ; muszą spełniać \sum p i=1 .
Częste błędy
Częste błędy
- Pominięcie wpisowego (liczenie brutto zamiast netto). Dlaczego źle: koszt losu płacisz zawsze, więc pomija się realną stratę i błędnie uznaje grę za opłacalną.
Przykład
Najczęstsze pytania
Czy wzór na wartość oczekiwaną jest w tablicach CKE? Nie.
Status CKE
Wymaganie należy do zakresu podstawowego (podstawa programowa, dział XII Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka , punkt oblicza wartość oczekiwaną, np. przy ustalaniu wysokości wygranej w prostych grach losowych i loteriach ).
Ćwicz dalej
- Sprawdzian z tej lekcji — zakładki quiz i fiszki powyżej ćwiczą rozróżnienie brutto/netto oraz warunek \sum p i=1 . - Lekcja pokrewna: Klasyczna definicja prawdopodobieństwa (MAT.
Źródła
- Ministerstwo Edukacji Narodowej, Podstawa programowa kształcenia ogólnego — matematyka, szkoła ponadpodstawowa, dział XII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka, zakres podstawowy (oblicza wartość oczekiwaną…).
- Centralna Komisja Egzaminacyjna, Informator o egzaminie maturalnym z matematyki oraz Wybrane wzory matematyczne (wzór na wartość oczekiwaną nie występuje w zestawie).
- Schemat dydaktyczny i figura — materiał własny NexTutor. Wszystkie wartości oczekiwane sprawdzone rachunkiem.
W tej lekcji
- 1Wartość oczekiwana — średni wynik na dłuższą metę, nie wróżba jednego losowania
- 2Po tej lekcji będziesz umieć
- 3Po co Ci to na maturze
- 4Zmienna losowa i jej rozkład
- 5Wzór na wartość oczekiwaną
- 6Wygrana brutto a netto — pułapka gier losowych
- 7Solver — jak liczyć wartość oczekiwaną
- 8Przykład rozwiązany
- 9Zanim rozwiążesz zadanie — 12 pytań kontrolnych
- 10Mini-praktyka — 8 zadań
- 11Powtórka w 30 sekund
- 12Kluczowe pojęcia
- 13Częste błędy
- 14Najczęstsze pytania
- 15Status CKE
- 16Ćwicz dalej
- 17Źródła