Trójkąt Pascala i symbol Newtona — licz własnościami, nie silniami
Definicja przez silnie jest poprawna i prawie zawsze najgorszą drogą do wyniku. Symetria, tożsamość Pascala i wartości skrajne pozwalają odczytać większość symboli Newtona bez liczenia.
Wzorzec
Trójkąt Pascala i symbol Newtona — licz własnościami, nie silniami
Definicja jest poprawna i prawie zawsze najgorszą drogą do wyniku. Licząc z silni, mnożysz sto liczb, żeby dostać setkę. Ta lekcja jest o tym, kiedy w ogóle nie trzeba liczyć — bo wystarczy zobaczyć własność.
Otwórz figurę w nowej karcie ⤢Przykład
Po tej lekcji będziesz umieć
- Odczytać wartość z własności, bez liczenia silni
- Stosować symetrię do zamiany trudnego rachunku na łatwy
- Zbudować dowolny wiersz trójkąta Pascala z reguły dodawania
- Rozpoznać tożsamość Pascala w zadaniu
- Powiązać wiersz trójkąta ze współczynnikami rozwinięcia
- Uzasadnić własności odwołaniem do znaczenia kombinatorycznego, a nie do rachunku
Po co Ci to na maturze
To wymaganie poziomu rozszerzonego. Poziom podstawowy kończy się na zliczaniu permutacji, wariacji i kombinacji — tym zajmuje się lekcja Kombinatoryka — permutacje, wariacje i kombinacje.
Na rozszerzeniu symbol Newtona pojawia się w trzech rolach: jako liczba kombinacji w zadaniach probabilistycznych, jako współczynnik w rozwinięciu dwumianu, oraz w dowodach tożsamości — gdzie zadanie prosi o wykazanie równości, nie o obliczenie liczby.
Definicja i wszystkie tożsamości są w zestawie Wybrane wzory matematyczne. Egzamin nie sprawdza, czy je pamiętasz — sprawdza, czy zauważysz, która z nich skraca rachunek.
Wprowadzenie
Intuicja — co ten symbol właściwie liczy
\binom{n}{k} to liczba sposobów wybrania k elementów z n , bez zwracania i bez znaczenia kolejności . Nic więcej.
Słownictwo
Symetria — najtańsze narzędzie w tej lekcji
\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k} To nie jest ciekawostka, tylko sposób na zamianę dużego k na małe. Porównaj: rachunek wprost po zastosowaniu symetrii --- --- \binom{15}{13}=\dfrac{15!
Trójkąt Pascala i reguła, która go buduje
\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1} To tożsamość Pascala . Mówi, że każda liczba w trójkącie jest sumą dwóch stojących nad nią: Dlaczego to działa — bez rachunku.
Związek z rozwinięciem dwumianu
Wiersz numer n trójkąta to współczynniki rozwinięcia (a+b)^n : (a+b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5 Współczynniki 1, 5, 10, 10, 5, 1 to dokładnie wiersz n=5 . Widać tu symetrię i widać, skąd się bierze: współczynnik przy a^{n-k}b^k wyn…
Kiedy liczyć, a kiedy patrzeć
- k=0 , 1 , n-1 lub n → odczytaj z własności, nie licz - k większe od połowy n → najpierw symetria - suma dwóch sąsiednich symboli o tym samym n → sprawdź, czy to nie tożsamość Pascala - małe n , potrzebny cały wiersz → zbuduj trójkąt, szybciej niż liczyć k…
Solver — jak postępować krok po kroku
1. Sprawdź warunki.
Przykład
Przykład rozwiązany
Zadanie. Oblicz \binom{12}{10}+\binom{12}{11} i podaj wynik jako jedną liczbę.
Zanim rozwiążesz zadanie — 12 pytań kontrolnych
1. Czy k jest liczbą całkowitą i czy 0\le k\le n ?
Mini-praktyka — 8 zadań
1. Oblicz \binom{9}{0}+\binom{9}{9} .
Powtórka w 30 sekund
\binom{n}{k} to liczba sposobów wybrania k z n bez kolejności — i z tego znaczenia wynikają wszystkie własności. Skrajne przypadki \binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1 oraz \binom{n}{1}=\binom{n}{n-1}=n odczytujesz bez rachunku.
Przykład
Kluczowe pojęcia
- Silnia — iloczyn n! =1\cdot 2\cdot\ldots\cdot n , z umową 0!
Częste błędy
Częste błędy
1. Liczenie silni tam, gdzie wystarczy własność.
Przykład
Najczęstsze pytania
Czy muszę pamiętać wzór na \binom{n}{k} ? Nie.
Status CKE
- Zakres: poziom rozszerzony. Podstawa programowa, dział II Wyrażenia algebraiczne , zakres rozszerzony: stosuje podstawowe własności trójkąta Pascala oraz następujące własności współczynnika dwumianowego (symbolu Newtona) .
Ćwicz dalej
- Powtórz podstawy: Kombinatoryka — permutacje, wariacje i kombinacje (MAT. 4.
Źródła
- Podstawa programowa kształcenia ogólnego — matematyka, liceum i technikum, dział II Wyrażenia algebraiczne, zakres rozszerzony, punkt 2. Publikacja CKE:
cke.gov.pl/images/_EGZAMIN_MATURALNY_OD_2023/podstawa_programowa/matematyka.pdf - Wybrane wzory matematyczne na egzamin maturalny z matematyki, Centralna Komisja Egzaminacyjna, część Silnia. Współczynnik dwumianowy, strona 6.
cke.gov.pl/images/_EGZAMIN_MATURALNY_OD_2023/Informatory/wybrane_wzory_matematyczne_EM2023.pdf
W tej lekcji
- 1Trójkąt Pascala i symbol Newtona — licz własnościami, nie silniami
- 2Po tej lekcji będziesz umieć
- 3Po co Ci to na maturze
- 4Intuicja — co ten symbol właściwie liczy
- 5Symetria — najtańsze narzędzie w tej lekcji
- 6Trójkąt Pascala i reguła, która go buduje
- 7Związek z rozwinięciem dwumianu
- 8Kiedy liczyć, a kiedy patrzeć
- 9Solver — jak postępować krok po kroku
- 10Przykład rozwiązany
- 11Zanim rozwiążesz zadanie — 12 pytań kontrolnych
- 12Mini-praktyka — 8 zadań
- 13Powtórka w 30 sekund
- 14Kluczowe pojęcia
- 15Częste błędy
- 16Najczęstsze pytania
- 17Status CKE
- 18Ćwicz dalej
- 19Źródła