Potęgi, pierwiastki i logarytmy na maturze sprawdzają głównie jedno: czy umiesz szybko zamienić zapis na wygodniejszy. Gdy widzisz pierwiastek, szukaj potęgi o wykładniku ułamkowym; gdy widzisz logarytm, wróć do definicji.
Słownictwo
W tym dziale matura zwykle nie pyta o teorię dla teorii. Najczęściej dostajesz krótki rachunek, w którym trzeba rozpoznać właściwe prawo działań i nie zgubić znaku, nawiasu albo dziedziny.
Najczęstsze typy zadań:
Poziom: maturalny podstawowy + elementy rozszerzenia. Na rozszerzeniu częściej pojawia się łączenie kilku praw naraz, np. logarytmy z parametrem albo trudniejsze równania wykładnicze/logarytmiczne.
Najważniejsze wzory, które musisz mieć pod ręką:
| Działanie | Wzór |
|---|---|
| Mnożenie potęg | aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ |
| Dzielenie potęg | aᵐ/aⁿ=aᵐ⁻ⁿ |
| Potęga potęgi | (aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ |
| Pierwiastek jako potęga | ⁿ√a=a^(1/n) |
| Logarytm — definicja | logₐb=c oznacza aᶜ=b |
| Logarytm iloczynu | logₐ(xy)=logₐx+logₐy |
| Logarytm ilorazu | logₐ(x/y)=logₐx−logₐy |
| Logarytm potęgi | logₐ(xᵏ)=k·logₐx |
Warunki dla logarytmu:
Mini-check:
Oblicz log₂32.
Ponieważ 2⁵=32, mamy log₂32=5.
Przykład
Uprość wyrażenie: (√50 − √8) / √2 Krok 1: rozbij liczby pod pierwiastkami na kwadrat razy reszta. √50=√(25·2)=5√2 √8=√(4·2)=2√2 Krok 2: podstaw do licznika.
- Uczeń pisze √a+√b=√(a+b) — to fałsz. Na przykład √9+√16=3+4=7, a √25=5.
Przykład
Przed zadaniem z tego działu sprawdź: - Czy mogę wszystko zapisać jako potęgi? - Czy podstawy potęg są takie same?
Potęga
Zapis wielokrotnego mnożenia tej samej liczby, np. 2⁵ oznacza 2·2·2·2·2.