W zadaniach z ciągów najważniejsze jest rozpoznanie, czy różnica jest stała, czy iloraz jest stały. Gdy to ustalisz, wybierasz właściwy wzór i pilnujesz numeru wyrazu, bo tam najczęściej uciekają punkty.
Słownictwo
CKE najczęściej nie pyta: „podaj definicję ciągu”, tylko daje kilka liczb, warunek albo treść zadania i sprawdza, czy rozpoznasz typ ciągu.
Najważniejsze rozróżnienie:
| Typ ciągu | Co jest stałe? | Wzór na n-ty wyraz | Suma n wyrazów |
|---|---|---|---|
| arytmetyczny | różnica r | aₙ=a₁+(n−1)r | Sₙ=(a₁+aₙ)n/2 |
| geometryczny | iloraz q | aₙ=a₁qⁿ⁻¹ | Sₙ=a₁(1−qⁿ)/(1−q), gdy q≠1 |
Ciąg arytmetyczny rozpoznajesz po tym, że do kolejnych wyrazów dodajesz tę samą liczbę.
Ciąg geometryczny rozpoznajesz po tym, że kolejne wyrazy mnożysz przez tę samą liczbę.
Poziom: ciągi arytmetyczne i geometryczne są typowe maturalnie. Granice ciągów i bardziej formalne własności to część rozszerzona, ale warto znać intuicję.
Przykład
Dany jest ciąg arytmetyczny, w którym a₁=5 oraz r=3. Oblicz a₁₀ i sumę pierwszych 10 wyrazów.
- Uczeń liczy a₁₀=5+10·3 — FAŁSZ: we wzorze jest n−1, bo pierwszy wyraz już istnieje. - Uczeń myli różnicę z ilorazem i stosuje wzór geometryczny do ciągu arytmetycznego.
- Czy sprawdziłem, czy stała jest różnica czy iloraz? - Czy we wzorze na aₙ użyłem n−1?
Ciąg liczbowy
Lista liczb ustawionych w określonej kolejności; każdy element ma swój numer