Całka oznaczona w zadaniach o polu działa jak uporządkowana suma wysokości wykresu na przedziale. Najważniejszy schemat to znaleźć punkty przecięcia, ustalić która funkcja jest wyżej i policzyć całkę z różnicy: górna minus dolna.
Słownictwo
W zadaniach z całki najczęściej chodzi o pole obszaru pod wykresem albo między dwoma wykresami. Uczeń nie musi opowiadać historii rachunku całkowego — ma wybrać przedział, ustalić funkcję górną i dolną, a potem poprawnie policzyć całkę.
Poziom: całki to zakres rozszerzony. W NexTutorze są celowo, żeby uczeń miał pełniejsze przygotowanie matematyczne, nawet jeśli część materiału wykracza poza typowe minimum PP.
Najważniejsze wzory:
| Sytuacja | Schemat |
|---|---|
| Pole pod wykresem f(x) nad osią OX | ∫ od a do b f(x) dx, gdy f(x)≥0 |
| Pole między wykresami | ∫ od a do b [funkcja górna − funkcja dolna] dx |
| Funkcja pierwotna | jeśli F'(x)=f(x), to ∫ f(x) dx = F(x)+C |
| Całka oznaczona | ∫ od a do b f(x) dx = F(b)−F(a) |
Przykład
Oblicz pole obszaru między wykresami f(x)=x i g(x)=x². Krok 1.
- Uczeń liczy ∫(dolna−górna)dx i dostaje wynik ujemny. - Uczeń nie znajduje punktów przecięcia, tylko bierze przypadkowy przedział z rysunku.
Przykład
- Czy znalazłem punkty przecięcia? - Czy wiem, która funkcja jest górna?
Całka nieoznaczona
Rodzina funkcji pierwotnych danej funkcji, zapisywana z +C