W zadaniach maturalnych z wielomianów najczęściej chodzi o znalezienie pierwiastka, rozłożenie wielomianu na czynniki i dopiero wtedy rozwiązanie równania. Twierdzenie Bézouta traktuj jak szybki test: jeśli W(a)=0, to x−a jest czynnikiem wielomianu.
Słownictwo
Wielomiany na maturze rzadko są czystą teorią. Zwykle dostajesz wielomian, warunek typu „liczba 2 jest pierwiastkiem” albo równanie W(x)=0 i masz doprowadzić wszystko do postaci, z której da się odczytać rozwiązania.
Najczęstsze schematy:
| Sytuacja w zadaniu | Co robisz? |
|---|---|
| Masz policzyć W(a) | Podstawiasz a za x i uważasz na znaki |
| Masz sprawdzić, czy a jest pierwiastkiem | Liczysz W(a); jeśli W(a)=0, to a jest pierwiastkiem |
| Masz rozwiązać W(x)=0 | Rozkładasz wielomian na czynniki |
| Masz czynnik x−a | Wiesz, że a jest pierwiastkiem |
| Masz pierwiastek a | Wiesz, że x−a dzieli wielomian |
Poziom: maturalny + rozszerzenie. Sam rozkład wielomianu pojawia się w podstawie, ale sprawne użycie Bézouta, Hornera i pierwiastków wymiernych jest szczególnie ważne na rozszerzeniu.
W(a)=0
W(x)=(x−a) · Q(x)
Przykład
Rozwiąż równanie: W(x)=x³−6x²+11x−6=0 Krok 1. Szukamy prostego pierwiastka.
- Uczeń sprawdza W(1), dostaje 0, ale nie zapisuje wniosku „x−1 jest czynnikiem” — wtedy rozwiązanie wygląda jak zgadywanie. - Uczeń myli pierwiastek a z czynnikiem: dla pierwiastka 2 czynnikiem jest x−2, a nie x+2.
- Czy umiesz szybko policzyć W(a)? - Czy pamiętasz: W(a)=0 ⇔ x−a jest czynnikiem?
Wielomian
Wyrażenie złożone z potęg zmiennej x o nieujemnych wykładnikach całkowitych, np. x³−2x+5