Suma 1+2+3+... = -1/12

Co się właśnie stało?

To jeden z najbardziej zaskakujących i najczęściej źle rozumianych wyników matematyki. Zwykła suma $1+2+3+4+\dots$ jest oczywiście rozbieżna — sumy częściowe $S_N = 1+2+\dots+N = \tfrac{N(N+1)}{2}$ rosną bez granic. A mimo to w pewnym głębszym sensie przypisuje się jej wartość $-\tfrac{1}{12}$.

Skąd bierze się −1/12?

Ze regularyzacji za pomocą funkcji dzeta Riemanna. Funkcja

jest zdefiniowana (zbieżna) tylko dla $s>1$, ale można ją analitycznie przedłużyć na inne wartości $s$. Punkt $\zeta(-1)$ formalnie odpowiada „sumie $1+2+3+\dots$" i wynosi:

Euler i Ramanujan

Wynik pojawił się w pracach Leonharda Eulera, a rozsławił go słynny indyjski matematyk Srinivasa Ramanujan (1913), który w liście do G. H. Hardy’ego zapisał go swoją metodą sumowania rozbieżnych szeregów.

Uwaga — o co tu naprawdę chodzi?

To NIE oznacza, że dodając liczby naturalne dostaniemy ujemny ułamek. Dodawanie $1+2+3+\dots$ pozostaje rozbieżne. $-\tfrac{1}{12}$ to przypisanie sensownej, skończonej wartości rozbieżnemu szeregowi konkretną metodą (regularyzacją) — a nie zwykły wynik dodawania.

Gdzie to działa w fizyce:

Najbardziej zdumiewające jest to, że ta „dziwna" wartość $-\tfrac{1}{12}$ realnie pojawia się w fizyce: w efekcie Casimira (siła między dwiema płytami w próżni kwantowej) oraz w teorii strun (przy wyznaczaniu wymiaru czasoprzestrzeni). To pokazuje głęboki, nieoczywisty związek między czystą matematyką rozbieżnych szeregów a fizyką.

Zapamiętaj: $1+2+3+\dots$ jako zwykła suma jest rozbieżna ($\to\infty$). Wartość $-\tfrac{1}{12}$ to wynik regularyzacji przez funkcję dzeta ($\zeta(-1)=-\tfrac{1}{12}$) — przypisanie skończonej liczby rozbieżnemu szeregowi, nie efekt dodawania. Temat rozszerzający: ciekawostka o granicach pojęcia „sumy".