Konstrukcje cyrklem i linijką

Co się właśnie stało?

Cyrkiel i linijka (bez podziałki) to klasyczne narzędzia geometrii greckiej — ale nie wszystko da się nimi skonstruować. Niektóre słynne konstrukcje są wykonalne, a inne — mimo prób trwających tysiąclecia — okazały się niemożliwe, co udowodniono dopiero w XIX wieku.

Które długości są konstruowalne?

Matematycznie: konstruowalne cyrklem i linijką są dokładnie te długości, które można uzyskać z odcinka jednostkowego przez dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie i pierwiastki kwadratowe:

Dlatego wykonalne są np.: podział odcinka na dowolną liczbę równych części (twierdzenie Talesa), konstrukcja $\sqrt{n}$ (jako średniej geometrycznej), dwusieczna kąta oraz wielokąty foremne o odpowiedniej liczbie boków.

Przełom Gaussa (1796):

Młody Carl Gauss udowodnił, że 17-kąt foremny jest konstruowalny — czego nie wiedziano od starożytności. Ogólnie $n$-kąt foremny jest konstruowalny wtedy, gdy $n$ jest iloczynem potęgi dwójki i różnych pierwszych liczb Fermata. Gauss podał więc pełny warunek konstruowalności wielokątów foremnych.

Co udowodniono, że jest NIEMOŻLIWE:

Niektóre konstrukcje wymagają liczb, których nie da się uzyskać samymi pierwiastkami kwadratowymi — np. $\sqrt[3]{2}$ wymaga pierwiastka trzeciego stopnia. Dlatego niemożliwe są:

• Trisekcja (podział na 3 równe części) dowolnego kąta — Pierre Wantzel, 1837
• Podwojenie sześcianu (konstrukcja boku sześcianu o dwukrotnej objętości, czyli $\sqrt[3]{2}$) — Pierre Wantzel, 1837
• Kwadratura koła — Ferdinand Lindemann, 1882

Niezmiennik:

Konstruowalne cyrklem i linijką są tylko liczby dające się uzyskać z jedynki przez działania arytmetyczne ($+,-,\times,\div$) i pierwiastki kwadratowe ($\sqrt{\ }$) — nie np. pierwiastek trzeciego stopnia.

Po co Ci to na maturze:

Ta historia pokazuje potęgę algebry: pytania czysto geometryczne („czy da się narysować?") rozstrzyga teoria liczb i pól algebraicznych, zamieniając „nie potrafimy" w „udowodniono, że się nie da". Zapamiętaj kryterium — dostępne są tylko działania arytmetyczne i pierwiastek kwadratowy.

Zapamiętaj: cyrklem i linijką skonstruujesz to, co powstaje z 1 przez $+,-,\times,\div$ i $\sqrt{\ }$. Podział odcinka, $\sqrt{n}$ i 17-kąt — tak; trisekcja kąta i podwojenie sześcianu ($\sqrt[3]{2}$) — udowodniono, że się nie da.