Paradoks Banacha-Tarskiego
Rozszerzenie tematu teorii mnogości i objętości (poza programem; polski akcent). Przy założeniu aksjomatu wyboru kulę można rozłożyć na skończenie wiele „części" i złożyć z nich dwie identyczne kule. Paradoks jest możliwy tylko dla zbiorów niemierzalnych (bez zdefiniowanej objętości) — nie działa w świecie fizycznym. Udowodnili go polscy matematycy Stefan Banach i Alfred Tarski w 1924 r.
Dam Ci zdanie o paradoksie Banacha-Tarskiego — oceń, czy jest prawdziwe, czy fałszywe.
Co się właśnie stało?
Z jednej pełnej kuli „powstały" dwie — każda tej samej wielkości co wyjściowa. Brzmi to jak tworzenie czegoś z niczego i pozorne łamanie zasady zachowania objętości. A jednak to matematycznie poprawne twierdzenie, udowodnione w 1924 r.
Paradoks Banacha-Tarskiego:
Dwaj polscy matematycy — Stefan Banach i Alfred Tarski (przedstawiciele słynnej lwowskiej i warszawskiej szkoły matematycznej) — udowodnili, że pełną kulę w przestrzeni trójwymiarowej można rozłożyć na skończenie wiele części, a następnie — używając wyłącznie obrotów i przesunięć (bez rozciągania i deformacji!) — złożyć z nich dwie identyczne kopie oryginalnej kuli:
Objętość „nie jest zachowana" — z jednej bryły robią się dwie tej samej wielkości.
Gdzie jest haczyk?
Paradoks korzysta z aksjomatu wyboru — kontrowersyjnego, choć standardowego założenia teorii mnogości, pozwalającego „wybrać" po jednym elemencie z każdego z nieskończenie wielu zbiorów. Za jego pomocą konstruuje się „części", które są zbiorami niemierzalnymi — tak patologicznie „poszarpanymi", że nie da się im przypisać żadnej sensownej objętości. Dlatego objętość „nie jest zachowana" — bo dla tych części w ogóle nie jest zdefiniowana. Nie liczymy 1 = 2; liczymy coś, co objętości po prostu nie ma.
Dlaczego to NIE działa w świecie fizycznym?
Paradoks dotyczy idealnego continuum — nieskończenie podzielnego zbioru punktów. Prawdziwa materia składa się ze skończonej liczby atomów, których nie da się rozciąć na niemierzalne kawałki. Nie da się więc podwoić złotej kulki ani jabłka — to czysto matematyczna własność abstrakcyjnej nieskończoności, nie recepta na darmową materię.
Po co Ci to (temat poza podstawą programową):
To ciekawostka z teorii mnogości — nie wystąpi na maturze. Pokazuje jednak coś ważnego: intuicja o objętości i „zdrowy rozsądek" zawodzą, gdy wkraczamy w świat nieskończoności i zbiorów niemierzalnych. To także powód dyskusji nad aksjomatem wyboru w podstawach matematyki oraz piękny przykład dorobku polskiej szkoły matematycznej.
Zapamiętaj: paradoks Banacha-Tarskiego (1924, Banach i Tarski — Polacy) mówi, że pełną kulę da się matematycznie rozłożyć i złożyć w dwie takie same — ale tylko dzięki aksjomatowi wyboru i zbiorom niemierzalnym (bez objętości). Fizyczna materia z atomów tak się nie zachowuje.
Teoria i wzory
Treść
Przy założeniu aksjomatu wyboru kulę można rozłożyć na skończenie wiele „części”, a następnie — używając tylko obrotów i przesunięć (izometrii) — złożyć z nich dwie kule identyczne z wyjściową.
Dlaczego nie łamie fizyki
„Części” rozkładu są zbiorami niemierzalnymi — nie mają zdefiniowanej objętości, więc zasada jej zachowania ich nie dotyczy. Takich zbiorów nie da się zbudować z materii.
Rola aksjomatu wyboru
Istnienie potrzebnych zbiorów gwarantuje właśnie aksjomat wyboru; konstrukcja jest nieefektywna — nie da się ich wskazać jawnie. Udowodnili to Banach i Tarski (1924).
Uczysz? Umieść ten eksperyment na swojej stronie.
Darmowy widget — wklej na stronę szkoły, bloga lub notatki. Linkuje do pełnej wersji.
Najczęstsze pytania
›Czy można matematycznie z jednej kuli złożyć dwie takie same?
Tak — paradoksalnie, przy założeniu aksjomatu wyboru, używając tylko obrotów i przesunięć.
›Dlaczego paradoks nie łamie zasady zachowania objętości?
Bo „części" rozkładu są zbiorami niemierzalnymi — nie mają zdefiniowanej objętości.
›Kto udowodnił paradoks Banacha-Tarskiego?
Polscy matematycy Stefan Banach i Alfred Tarski, w 1924 r.
Powiązane eksperymenty