Paradoks Banacha-Tarskiego

Co się właśnie stało?

Z jednej pełnej kuli „powstały" dwie — każda tej samej wielkości co wyjściowa. Brzmi to jak tworzenie czegoś z niczego i pozorne łamanie zasady zachowania objętości. A jednak to matematycznie poprawne twierdzenie, udowodnione w 1924 r.

Paradoks Banacha-Tarskiego:

Dwaj polscy matematycy — Stefan Banach i Alfred Tarski (przedstawiciele słynnej lwowskiej i warszawskiej szkoły matematycznej) — udowodnili, że pełną kulę w przestrzeni trójwymiarowej można rozłożyć na skończenie wiele części, a następnie — używając wyłącznie obrotów i przesunięć (bez rozciągania i deformacji!) — złożyć z nich dwie identyczne kopie oryginalnej kuli:

Objętość „nie jest zachowana" — z jednej bryły robią się dwie tej samej wielkości.

Gdzie jest haczyk?

Paradoks korzysta z aksjomatu wyboru — kontrowersyjnego, choć standardowego założenia teorii mnogości, pozwalającego „wybrać" po jednym elemencie z każdego z nieskończenie wielu zbiorów. Za jego pomocą konstruuje się „części", które są zbiorami niemierzalnymi — tak patologicznie „poszarpanymi", że nie da się im przypisać żadnej sensownej objętości. Dlatego objętość „nie jest zachowana" — bo dla tych części w ogóle nie jest zdefiniowana. Nie liczymy 1 = 2; liczymy coś, co objętości po prostu nie ma.

Dlaczego to NIE działa w świecie fizycznym?

Paradoks dotyczy idealnego continuum — nieskończenie podzielnego zbioru punktów. Prawdziwa materia składa się ze skończonej liczby atomów, których nie da się rozciąć na niemierzalne kawałki. Nie da się więc podwoić złotej kulki ani jabłka — to czysto matematyczna własność abstrakcyjnej nieskończoności, nie recepta na darmową materię.

Po co Ci to (temat poza podstawą programową):

To ciekawostka z teorii mnogości — nie wystąpi na maturze. Pokazuje jednak coś ważnego: intuicja o objętości i „zdrowy rozsądek" zawodzą, gdy wkraczamy w świat nieskończoności i zbiorów niemierzalnych. To także powód dyskusji nad aksjomatem wyboru w podstawach matematyki oraz piękny przykład dorobku polskiej szkoły matematycznej.

Zapamiętaj: paradoks Banacha-Tarskiego (1924, Banach i Tarski — Polacy) mówi, że pełną kulę da się matematycznie rozłożyć i złożyć w dwie takie same — ale tylko dzięki aksjomatowi wyboru i zbiorom niemierzalnym (bez objętości). Fizyczna materia z atomów tak się nie zachowuje.