Trójkąt Reuleaux

Co się właśnie stało?

Intuicyjnie wydaje się, że tylko koło ma „stałą szerokość" — czyli że odległość między dwiema równoległymi liniami stycznymi jest taka sama niezależnie od kierunku. To nieprawda! Istnieje cała rodzina figur o stałej szerokości, a najsłynniejszą z nich jest trójkąt Reuleaux, nazwany od niemieckiego inżyniera Franza Reuleaux (XIX w.).

Jak powstaje trójkąt Reuleaux?

Bierzemy trójkąt równoboczny o boku $w$ i każdy bok zastępujemy łukiem okręgu zakreślonym z przeciwległego wierzchołka promieniem $w$. Taka figura ma jednakową szerokość we wszystkich kierunkach:

gdzie $h(\theta)$ to odległość środka od stycznej o normalnej $\theta$. Suma szerokości w dwóch przeciwnych kierunkach jest zawsze równa $w$ — dlatego górna belka podczas toczenia nie drgnie.

Dlaczego może się toczyć jak koło?

Dzięki stałej szerokości obiekt położony na wałkach o przekroju Reuleaux przesuwa się gładko, bez podskakiwania — górna płyta cały czas jest na tej samej wysokości. Różnica względem koła: środek figury nie porusza się po linii prostej — środek ciężkości trójkąta Reuleaux delikatnie podskakuje (na wykresie toru środka widać falę, dla koła — prostą).

Twierdzenie Barbiera:

Każda figura o stałej szerokości $w$ ma ten sam obwód $\pi w$ — dokładnie taki jak koło o średnicy $w$. Zaskakujące, bo trójkąt Reuleaux wygląda „chudziej" niż koło, a jednak obwód identyczny.

Zastosowania:

Wiertła o kształcie Reuleaux wiercą (prawie) kwadratowe otwory, kształt ten pojawia się w mechanizmach (silnik Wankla), a nawet w monetach i pokrywach studzienek. To efektowny przykład, że „oczywista" intuicja geometryczna bywa błędna.

Po co Ci to na maturze:

To „wow" poza podstawą programową (podstawa: figury płaskie, okrąg), ale świetnie ćwiczy myślenie: nie każda „oczywista" własność geometryczna jest prawdziwa — warto szukać kontrprzykładów, zanim uznasz coś za pewnik.

Zapamiętaj: koło nie jest jedyną figurą o stałej szerokości — trójkąt Reuleaux też ma $w=\text{const}$ w każdym kierunku, potrafi się toczyć, a jego obwód to $\pi w$.