Twierdzenie Picka

Co się właśnie stało?

Zmieniałeś figurę — od prostokąta po wielokąt niewypukły. Za każdym razem liczba punktów kratki wewnątrz ($i$) i na brzegu ($b$) była inna, a mimo to $i + \tfrac{b}{2} - 1$ zawsze dawało dokładnie pole figury. Pole wyznaczyłeś licząc kropki.

Twierdzenie Picka:

Sformułowane przez austriackiego matematyka Georga Picka w 1899 r., podaje zaskakująco prosty wzór na pole wielokąta, którego wszystkie wierzchołki leżą w punktach kratki (o współrzędnych całkowitych): $i$ to liczba punktów kratki wewnątrz wielokąta, a $b$ — liczba punktów kratki na jego brzegu. To znaczy, że pole można wyznaczyć po prostu LICZĄC KROPKI — bez całkowania, bez skomplikowanych wzorów!

Sprawdź sam:

Prostokąt: $8 + \tfrac{16}{2} - 1 = 15$. Trójkąt: $6 + \tfrac{10}{2} - 1 = 10$. Wielokąt L: $5 + \tfrac{16}{2} - 1 = 12$. Za każdym razem wynik pokrywa się z polem policzonym wzorem na pole wielokąta.

Jak liczyć b (punkty na brzegu)?

Na każdym odcinku brzegu liczba punktów kratki (nie licząc jednego końca) to największy wspólny dzielnik różnic współrzędnych: dla odcinka od $(x_1,y_1)$ do $(x_2,y_2)$ jest to $\text{NWD}(|x_2-x_1|,\,|y_2-y_1|)$. Suma po wszystkich bokach daje $b$.

Dla dowolnego wielokąta prostego:

Wzór działa dla dowolnego (także niewypukłego) wielokąta prostego o wierzchołkach kratowych. Twierdzenie Picka jest ulubionym przykładem „matematyki dyskretnej spotykającej geometrię" i bywa wykorzystywane m.in. w geometrii obliczeniowej.

Po co Ci to na maturze:

Gdy figura ma wierzchołki w węzłach kratki, pole policzysz $P = i + \tfrac{b}{2} - 1$ bez rozbijania na trójkąty i trapezy — wystarczy uważnie policzyć kropki wewnątrz i na brzegu. To także elegancki przykład związku geometrii z matematyką dyskretną.

Zapamiętaj: dla wielokąta o wierzchołkach kratowych $P = i + \tfrac{b}{2} - 1$ — punkty wewnętrzne plus połowa brzegowych minus jeden dają pole.