Twierdzenie Talesa — dowód

Co się właśnie stało?

Dwie proste równoległe przecięły oba ramiona kąta i wyznaczyły na nich odcinki. Choć odcinki na jednym ramieniu są dłuższe niż na drugim, stosunki odpowiadających sobie odcinków są identyczne — i pozostają takie, gdziekolwiek przesuniesz proste.

Twierdzenie Talesa:

Jeżeli ramiona kąta przetniemy dwiema prostymi równoległymi, to stosunek odcinków wyznaczonych na jednym ramieniu równa się stosunkowi odpowiadających odcinków na drugim ramieniu:

Twierdzenie przypisuje się Talesowi z Miletu (ok. 624–546 r. p.n.e.), greckiemu filozofowi i matematykowi, uważanemu za pierwszego matematyka w historii.

Niezmiennik — proporcja odcinków:

Wartość tego stosunku zależy tylko od położenia prostych względem wierzchołka, a nie od tego, które ramię wybierzemy. Dlatego odcinki są proporcjonalne, a nie równe: równe byłyby jedynie wtedy, gdyby ramiona były symetryczne względem prostych.

Dlaczego to działa?

Proste równoległe tworzą z ramionami kąta trójkąty podobne (te same kąty). W figurach podobnych odpowiadające boki są proporcjonalne — stąd bierze się równość stosunków. Twierdzenie Talesa i podobieństwo trójkątów to dwie strony tej samej idei.

Legenda o piramidzie:

Podanie głosi, że Tales zmierzył wysokość piramidy egipskiej z długości jej cienia — porównując go z cieniem kija o znanej wysokości. To samo rozumowanie o proporcjach: $\tfrac{\text{wysokość}}{\text{cień}}$ jest takie samo dla piramidy i dla kija.

Po co Ci to na maturze:

Twierdzenie Talesa i jego odwrotność są podstawą wielu konstrukcji (np. podziału odcinka na równe części) i dowodów w geometrii — to obowiązkowy materiał maturalny. Chwyt: wypisz odpowiadające sobie odcinki i przyrównaj ich stosunki.

Zapamiętaj: proste równoległe przecinające ramiona kąta dzielą je na odcinki proporcjonalne — $\tfrac{|OA|}{|OB|}=\tfrac{|OA'|}{|OB'|}$, niezależnie od położenia prostych.