Deska Galtona

Co się właśnie stało?

Deska Galtona (ang. Galton board, quincunx) to przyrząd wymyślony przez Francisa Galtona w 1889 r. Kulka, spadając przez siatkę 8 rzędów kołków, na każdym kołku odbija się losowo w lewo lub w prawo z prawdopodobieństwem $\tfrac{1}{2}$. Liczba ruchów w prawo decyduje o tym, do którego koszyka trafi.

Rozkład dwumianowy

Liczba ruchów w prawo ma rozkład dwumianowy: prawdopodobieństwo trafienia do koszyka k wynosi

Licznik $\binom{n}{k}$ to liczba różnych ścieżek prowadzących do koszyka k (dwumian Newtona, wiersz trójkąta Pascala). Do środkowych koszyków prowadzi najwięcej dróg, więc są najbardziej prawdopodobne — stąd słupki są tam najwyższe.

Z chaosu rodzi się porządek

Choć trasa każdej kulki jest czysto losowa, po zsumowaniu tysięcy kulek słupki układają się w regularną krzywą dzwonową (Gaussa). Dzieje się tak, bo rozkład dwumianowy dla dużego n dąży do rozkładu normalnego — to centralne twierdzenie graniczne:

ze środkiem $\mu = \tfrac{n}{2}$ i odchyleniem standardowym $\sigma = \tfrac{\sqrt{n}}{2}$. W panelu po prawej widać, jak dokładne prawdopodobieństwa dwumianowe pokrywają się ze znacznikami gęstości normalnej — tym lepiej, im większe n.

Dlaczego to ważne

Deska Galtona to piękna, namacalna ilustracja, jak z czystego chaosu pojedynczych zdarzeń rodzi się precyzyjny porządek statystyczny. To klasyczny model pokazujący wszechobecność rozkładu normalnego w przyrodzie: wzrost ludzi, błędy pomiaru, wyniki testów — wszędzie tam, gdzie wynik jest sumą wielu drobnych, niezależnych wpływów.

Po co Ci to na maturze:

Rozkład dwumianowy $P(k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ (tu $p=\tfrac12$) opisuje liczbę sukcesów w n niezależnych próbach — to podstawa zadań o schemacie Bernoulliego. Gdy prób jest dużo, przybliżamy go rozkładem normalnym. Chwyt: gdy w zadaniu jest „n niezależnych prób”, licz przez $\binom{n}{k}$, a dla dużego n spodziewaj się „dzwonu”.

Zapamiętaj: prawdopodobieństwo koszyka k to $C(n,k)/2^n$ (rozkład dwumianowy), a suma wielu losowych odbić układa się w krzywą dzwonową — rozkład normalny (centralne twierdzenie graniczne).