Równowaga Nasha — dylemat więźnia

Co się właśnie stało?

Dwóch podejrzanych przesłuchiwanych osobno. Każdy może współpracować (milczeć) albo zdradzić (zeznawać przeciw drugiemu). Wypłaty to lata więzienia — im mniej, tym lepiej: oboje milczą → po 1 roku; oboje zeznają → po 2 lata; jeśli jeden zeznaje, a drugi milczy → zdrajca wychodzi wolny (0 lat), a milczący dostaje 3 lata.

Macierz wypłat (lata więzienia, A | B):

Sprawdź perspektywę gracza A. Jeśli B współpracuje: A dostaje 1 rok za współpracę, ale 0 lat za zdradę — zdrada lepsza. Jeśli B zdradza: A dostaje 3 lata za współpracę, ale 2 lata za zdradę — znów zdrada lepsza. Zdrada jest więc strategią dominującą: opłaca się niezależnie od ruchu przeciwnika. Symetrycznie dla B.

Równowaga Nasha (niezmiennik):

Skoro obaj gracze racjonalnie wybierają zdradę, lądują w stanie (zdrada, zdrada) z wynikiem po 2 lata — to jest równowaga Nasha. Formalnie: to taki zestaw strategii, w którym żaden gracz nie poprawi swojego wyniku, zmieniając wyłącznie swoją własną decyzję, przy niezmienionej decyzji drugiego. Gdy B zdradza, A po odejściu do współpracy dostałby 3 zamiast 2 lat — więc się nie opłaca. To samo dla B. Paradoks: obopólna współpraca (po 1 roku) byłaby lepsza dla obu — to $\text{optimum społeczne}$ — ale nie jest stabilna, bo każdy ma pokusę, by odstąpić i zeznawać.

Racjonalność indywidualna kontra zbiorowa

To sedno dylematu: indywidualnie racjonalny wybór (zdrada) prowadzi do wyniku gorszego dla obu niż współpraca. Napięcie między tym, co opłaca się jednostce, a tym, co byłoby najlepsze dla grupy, pojawia się wszędzie — od wyścigu zbrojeń, przez zmowy cenowe, po ochronę środowiska.

John Nash i teoria gier

Równowagę Nasha wprowadził amerykański matematyk John Nash w 1950 roku (praca „Equilibrium Points in n-Person Games”). To jedno z fundamentalnych pojęć teorii gier, z ogromnymi zastosowaniami w ekonomii, biologii ewolucyjnej, polityce i informatyce (aukcje, negocjacje, konkurencja rynkowa). Za wkład w teorię gier niekooperacyjnych Nash otrzymał w 1994 roku Nagrodę Nobla z ekonomii (wspólnie z Johnem Harsanyim i Reinhardem Seltenem). Jego burzliwe życie — zmagania ze schizofrenią — przedstawił film „Piękny umysł” (2001).

Po co Ci to:

To temat spoza podstawy programowej — ciekawostka pokazująca, jak matematyka opisuje ludzkie decyzje. Warto z niej zapamiętać jeden nawyk myślowy: żeby znaleźć równowagę, dla każdego gracza sprawdź, czy zmiana wyłącznie jego decyzji poprawiłaby jego wynik. Jeśli dla nikogo nie — to równowaga Nasha.

Zapamiętaj: w równowadze Nasha żaden gracz nie zyska, zmieniając jednostronnie swoją strategię. W dylemacie więźnia to (zdrada, zdrada) — mimo że wspólna współpraca byłaby lepsza dla obu.