Twierdzenie Arrowa — nie ma idealnych wyborów
Rozszerzenie tematu teorii wyboru społecznego (ciekawostka — matematyka a demokracja). Przy co najmniej 3 opcjach nie istnieje system głosowania spełniający jednocześnie wszystkie rozsądne warunki sprawiedliwości (brak dyktatora, jednomyślność, niezależność od nieistotnych alternatyw) — są one wzajemnie sprzeczne. Udowodnił to Kenneth Arrow w 1951 r. (Nagroda Nobla z ekonomii 1972).
Dam Ci system głosowania — wskaż, które rozsądne kryterium musi złamać. Każdy łamie dokładnie jedno (twierdzenie Arrowa).
Co się właśnie stało?
Trzej wyborcy mają do wyboru trzy opcje (A, B, C) i każdy porządkuje je racjonalnie. Chcemy z tych trzech indywidualnych rankingów zbudować jeden ranking społeczny. Wydaje się, że wystarczy „głosować sprawiedliwie” — a jednak każdy sposób, który spróbujesz, coś psuje.
Profil preferencji (paradoks Condorceta):
Sprawdź większości parami: A pokonuje B (2:1), B pokonuje C (2:1), ale C pokonuje A (2:1). Powstaje zapętlenie:
Mimo że każdy wyborca ma spójne, racjonalne preferencje, preferencje grupowe tworzą cykl — nie ma zwycięzcy. To słynny paradoks Condorceta.
Rozsądne kryteria sprawiedliwości (niezmiennik):
Od dobrego systemu głosowania oczekujemy naturalnych warunków — m.in.:
W panelu obok każdy system spełnia część z nich — ale zawsze co najmniej jedno kryterium świeci na czerwono. Większość parami łamie spójność rankingu (cykl); metoda Bordy łamie niezależność (IIA); a jedyny system, który spełnia Pareto, IIA i spójność naraz, okazuje się… dyktaturą.
Twierdzenie Arrowa (twierdzenie o niemożliwości):
Kenneth Arrow udowodnił w 1951 roku (w książce „Social Choice and Individual Values”), że gdy wyborcy mają do wyboru co najmniej trzy opcje, nie istnieje żaden system agregacji indywidualnych rankingów w jeden ranking społeczny, który spełniałby jednocześnie wszystkie te „rozsądne” warunki. Brzmią one oczywiście i minimalnie — a mimo to są wzajemnie sprzeczne: każdy system musi złamać przynajmniej jeden. Ilustruje to właśnie paradoks Condorceta, gdzie racjonalne preferencje jednostek składają się na irracjonalne, zapętlone preferencje grupy.
Kenneth Arrow i teoria wyboru społecznego
To jeden z najsłynniejszych wyników matematyki w naukach społecznych. Za tę i inne prace Arrow otrzymał w 1972 roku Nagrodę Nobla z ekonomii. Twierdzenie ma głębokie konsekwencje dla teorii demokracji, projektowania ordynacji wyborczych i teorii wyboru społecznego — pokazuje matematyczną granicę „idealnej sprawiedliwości” w podejmowaniu decyzji zbiorowych.
Po co Ci to:
To temat spoza podstawy programowej — ciekawostka pokazująca, jak matematyka opisuje demokrację i wybory. Warto zapamiętać jeden wniosek: „idealnie sprawiedliwy” system wyborczy dla ≥3 opcji nie istnieje, więc każda ordynacja to świadomy kompromis — poświęcamy któreś z kryteriów.
Zapamiętaj: przy co najmniej trzech opcjach warunki brak dyktatora + jednomyślność + niezależność (IIA) są wzajemnie sprzeczne. Nie da się ich spełnić naraz — każdy system głosowania łamie przynajmniej jeden.
Teoria i wzory
Treść
Przy co najmniej opcjach nie istnieje system przeliczania indywidualnych preferencji na jedną preferencję grupową, który spełniałby jednocześnie wszystkie rozsądne warunki sprawiedliwości.
Sprzeczne warunki
- brak dyktatora (nikt nie decyduje sam),
- jednomyślność (gdy wszyscy wolą A od B, grupa też),
- niezależność od nieistotnych alternatyw.
Arrow (1951) wykazał, że są wzajemnie sprzeczne.
Paradoks Condorceta
Preferencje grupy mogą się zapętlić: A > B > C > A, mimo że każdy głosujący ma spójne preferencje.
Uczysz? Umieść ten eksperyment na swojej stronie.
Darmowy widget — wklej na stronę szkoły, bloga lub notatki. Linkuje do pełnej wersji.
Najczęstsze pytania
›Czy da się zaprojektować idealnie sprawiedliwy system wyborczy?
Nie — przy ≥3 opcjach rozsądne kryteria sprawiedliwości są wzajemnie sprzeczne (twierdzenie Arrowa).
›Jakie kryteria są sprzeczne?
M.in. brak dyktatora, zgodność z jednomyślnością i niezależność od nieistotnych alternatyw — nie da się ich spełnić naraz.
›Co ilustruje paradoks Condorceta?
Że preferencje grupowe mogą być zapętlone (A>B>C>A) mimo racjonalnych preferencji jednostek.