Problem Collatza (3n+1)

Co się właśnie stało?

Problem Collatza (znany też jako hipoteza 3n+1, problem Syracuse czy hipoteza Ulama) to prawdopodobnie najprostszy do sformułowania nierozwiązany problem matematyki. Bierzesz dowolną liczbę naturalną i powtarzasz jedną regułę.

Reguła (Lothar Collatz, 1937):

Dla liczby parzystej — dzielisz przez 2, dla nieparzystej — mnożysz przez 3 i dodajesz 1; potem powtarzasz. Hipoteza Collatza mówi, że dla każdej liczby naturalnej ciąg w końcu dojdzie do 1 (a potem wpadnie w cykl $1 \to 4 \to 2 \to 1$).

Sprawdzone dla astronomicznie wielu liczb…

Komputerowo potwierdzono hipotezę dla wszystkich liczb do prawie $3\cdot 10^{20}$ (dokładniej ≈ 2,95·10²⁰) — i zawsze się sprawdza. Trajektorie bywają zaskakująco chaotyczne: liczba 27 potrzebuje aż 111 kroków i „wznosi się" do 9232, zanim spadnie do 1 (widać to na wykresie po wybraniu 27).

…ale nikt tego nie udowodnił

Mimo prostoty reguły i ponad 85 lat prób najwybitniejszych matematyków, nikt nie potrafi udowodnić, że działa to dla wszystkich liczb naturalnych — ani znaleźć choćby jednego kontrprzykładu. Paul Erdős, oferując 500 dolarów za rozwiązanie, powiedział: „Matematyka może nie być jeszcze gotowa na takie problemy".

Po co Ci to na maturze:

To rozszerzenie tematu podzielności i ciągów — i fascynująca ciekawostka o granicach wiedzy matematycznej. Pokazuje głęboką prawdę: prostota sformułowania nie gwarantuje prostoty rozwiązania. Regułę 3n+1 zrozumie dziecko, a i tak pozostaje jednym z najsłynniejszych otwartych problemów matematyki. Czasem najkrótsze pytania są najtrudniejsze.

Zapamiętaj: reguła Collatza to $n \to \tfrac{n}{2}$ (parzyste) lub $n \to 3n+1$ (nieparzyste). Dla wszystkich sprawdzonych liczb ciąg kończy się na 1 — ale ogólnego dowodu brak. To wciąż problem otwarty.