Pochodna — od siecznej do stycznej

Pochodna funkcji w punkcie to nachylenie stycznej do jej wykresu. Skąd bierze się jej wzór? Prowadzimy sieczną przez dwa punkty krzywej i zbliżamy jeden z nich do drugiego — gdy odległość $h$ maleje do zera, sieczna staje się styczną, a iloraz różnicowy dąży do pochodnej. W tym 15-sekundowym wideo i w wyjaśnieniu krok po kroku pokazujemy ten proces graniczny.

Krok po kroku

1
Sieczna. Prowadzimy prostą przez punkty $P(x_0, f(x_0))$ i $Q(x_0+h,\ f(x_0+h))$ .
2
Nachylenie siecznej. $m = \dfrac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}$ — iloraz różnicowy.
3
Granica $h \to 0$ . Zbliżamy $Q$ do $P$ ; sieczna obraca się i staje się styczną.
4
Pochodna. Wartość graniczna nachylenia to pochodna: $f'(x_0) = \lim_{h\to 0} \dfrac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}$ .

Wyjaśnienie

Nachylenie siecznej między dwoma punktami wykresu to iloraz różnicowy $\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ . Im bliżej punkt $Q$ jest punktu $P$ (czyli im mniejsze $h$ ), tym sieczna lepiej przybliża kierunek krzywej w $P$ . W granicy $h \to 0$ sieczna przechodzi w styczną, a iloraz różnicowy dąży do liczby zwanej pochodną funkcji w punkcie: $f'(x_0)$ . Geometrycznie pochodna to nachylenie stycznej; to fundament rachunku różniczkowego — służy do wyznaczania stycznych, badania monotoniczności i ekstremów funkcji.

Najczęstsze pytania

›

Co to jest pochodna funkcji?

Pochodna w punkcie to nachylenie stycznej do wykresu w tym punkcie; formalnie granica ilorazu różnicowego przy h → 0.

›

Czym różni się sieczna od stycznej?

Sieczna przecina wykres w dwóch punktach; styczna dotyka go w jednym i ma nachylenie równe pochodnej.

›

Co oznacza granica h → 0?

Że drugi punkt Q zbliża się nieograniczenie do P — sieczna dąży wtedy do stycznej.

›

Do czego służy pochodna?

Do wyznaczania stycznych do wykresu oraz badania monotoniczności i ekstremów funkcji.

Teoria (klasa): MAT.4.1.2 → Lekcja maturalna: MAT.M.15.2 → Powiązane wideo: Sumy Riemanna — pole pod krzywą i całka oznaczona → Wzór w tablicach →

Obejrzyj na YouTube