Sumy Riemanna — od prostokątów do całki oznaczonej

Jak policzyć pole pod krzywą? Dzielimy je na prostokąty i sumujemy ich pola (suma Riemanna). Im węższe prostokąty, tym dokładniejsze przybliżenie — a w granicy, gdy szerokość $\Delta x \to 0$ , suma staje się całką oznaczoną, czyli dokładnym polem pod wykresem. W tym 15-sekundowym wideo i w wyjaśnieniu krok po kroku pokazujemy to przejście graniczne.

Krok po kroku

1
Pole pod krzywą. Chcemy policzyć pole między wykresem $f(x)$ a osią $x$ na przedziale $[a,b]$ .
2
Przybliżenie prostokątami. Dzielimy przedział na $n$ części i budujemy prostokąty o wysokości $f(x_i)$ i szerokości $\Delta x$ .
3
Suma Riemanna. Sumujemy pola prostokątów: $\displaystyle\sum_i f(x_i)\,\Delta x$ .
4
Granica $\Delta x \to 0$ . Im więcej prostokątów (większe $n$ ), tym bliżej pola. W granicy suma staje się całką: $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ .

Wyjaśnienie

Pole pod wykresem funkcji na przedziale $[a,b]$ można przybliżyć, dzieląc je na wąskie prostokąty i sumując ich pola: $\sum_i f(x_i)\,\Delta x$ . To jest suma Riemanna. Im węższe prostokąty (im większe $n$ , im mniejsze $\Delta x$ ), tym lepiej suma oddaje rzeczywiste pole. W granicy $\Delta x \to 0$ suma dąży do jednej liczby — całki oznaczonej $\int_a^b f(x)\,dx$ , równej dokładnemu polu pod krzywą. To fundament rachunku całkowego: podstawa liczenia pól, objętości oraz wielu wielkości fizycznych (np. drogi z prędkości).

Najczęstsze pytania

›

Co to jest suma Riemanna?

Suma pól prostokątów przybliżających pole pod wykresem: Σ f(xᵢ)·Δx.

›

Czym jest całka oznaczona?

Granicą sum Riemanna przy Δx → 0; równa dokładnemu polu pod krzywą na przedziale [a, b].

›

Dlaczego więcej prostokątów daje lepszy wynik?

Bo węższe prostokąty dokładniej dopasowują się do kształtu krzywej, więc błąd przybliżenia maleje.

›

Do czego służy całka oznaczona?

Do obliczania pól, objętości oraz wielkości fizycznych, np. drogi na podstawie prędkości.

Teoria (klasa): MAT.4.2.2 → Lekcja maturalna: MAT.M.15.3 → Powiązane wideo: Pochodna — od siecznej do stycznej → Wzór w tablicach →

Obejrzyj na YouTube