Logarytmy — definicja, własności i obliczenia
Logarytm odpowiada na pytanie: „do której potęgi trzeba podnieść podstawę, żeby dostać daną liczbę?”. Jeśli pamiętasz definicję logₐb=c ⇔ aᶜ=b, większość prostych zadań da się rozwiązać bez paniki.
Po co Ci ten temat?
Logarytm to pytanie o wykładnik. Zamiast pytać „2 do której potęgi daje 8?", piszemy , bo . Logarytmy wracają przy funkcji logarytmicznej, równaniach wykładniczych, procentach składanych i przekształcaniu wzorów — warto je dobrze zrozumieć już teraz.
Słownictwo
Najważniejsza idea w prostych słowach
Definicja.
Warunki istnienia (zawsze sprawdzaj): podstawa dodatnia i różna od 1, liczba logarytmowana dodatnia.
Własności logarytmów (dla , ):
| Własność | Wzór |
|---|---|
| logarytm iloczynu | |
| logarytm ilorazu | |
| logarytm potęgi | |
| logarytm podstawy | |
| logarytm jedynki |
Logarytm to pytanie o wykładnik
logₐb = c oznacza aᶜ = b
logₐb = c
pytanie: podstawę a do jakiej potęgi podnieść?
aᶜ = b
odpowiedź to właśnie wykładnik c
log₂8 = 3
bo 2³ = 8
Zapamiętaj: Logarytm i potęga opisują to samo z dwóch stron. Zawsze możesz zamienić logₐb=c na aᶜ=b.
Algorytm rozwiązywania zadań krok po kroku
1. Przetłumacz logarytm na pytanie: „podstawę trzeba podnieść do jakiej potęgi?
Przykład
Przykład rozwiązany
Przykład 1. Oblicz \log 3 81 .
Rozszerzenie PR — zmiana podstawy logarytmu (LIC.07)
Gdy podstawa i liczba logarytmowana nie są potęgami tej samej liczby, używamy wzoru na zmianę podstawy : \log a b=\frac{\log c b}{\log c a},\qquad a 0,\ a\neq 1,\ b 0,\ c 0,\ c\neq 1 Nową podstawę c dobierasz wygodnie — tak, by liczby st…
Typowe pułapki i błędy
- Logarytm to nie dzielenie. \log 2 8 to nie 8:2 , lecz pytanie: 2 do której potęgi daje 8 .
Jak to wygląda na maturze?
Na poziomie podstawowym logarytmy to zwykle krótkie zadanie rachunkowe albo element większego przykładu: oblicz logarytm z definicji, użyj własności, sprawdź warunki istnienia, rozwiąż proste równanie logarytmiczne. Na rozszerzeniu doch…
Kluczowe pojęcia
Logarytm
Wykładnik, do którego trzeba podnieść podstawę, żeby otrzymać daną liczbę.
Materiały ZPE
4 materiały