Dział MAT.1.1›Wartość bezwzględna — definicja i równania

Wartość bezwzględna — definicja i równania

Klasa 1PodstawaOdległość bez znaku

Wartość bezwzględna oznacza odległość liczby od zera, więc nigdy nie jest ujemna. W równaniach typu |coś|=liczba najpierw sprawdzasz prawą stronę, a potem rozbijasz zadanie na dwa przypadki.

⏱ ~24 min
Wartość bezwzględna — definicja i równania

Po co Ci ten temat?

Wartość bezwzględna pojawia się w równaniach, nierównościach, geometrii analitycznej i zadaniach z odległością na osi liczbowej. Najważniejsze: ∣x∣|x| to odległość liczby xx od zera — a odległość nie może być ujemna, więc ∣x∣≥0|x|\ge 0.

Najważniejsza idea w prostych słowach

Definicja.

∣x∣={x,x≥0−x,x<0|x|=\begin{cases} x, & x\ge 0\\ -x, & x<0 \end{cases}

Przykłady: ∣5∣=5|5|=5, ∣−5∣=5|-5|=5, ∣0∣=0|0|=0. Wartość bezwzględna „zdejmuje minus", ale to nie jest magiczne kasowanie znaku — to odległość od zera.

Interpretacja geometryczna. ∣x−a∣|x-a| to odległość liczby xx od liczby aa. Na przykład ∣x−3∣=5|x-3|=5 oznacza, że xx jest w odległości 55 od 33, czyli

x=3−5=−2lubx=3+5=8x=3-5=-2 \quad\text{lub}\quad x=3+5=8

Równanie ∣A∣=b|A|=b — najpierw sprawdź prawą stronę:

{b<0⇒ ∅ (brak rozwiązanˊ)b=0⇒ A=0b>0⇒ A=b lub A=−b\begin{cases} b<0 & \Rightarrow\ \varnothing\ \text{(brak rozwiązań)}\\ b=0 & \Rightarrow\ A=0\\ b>0 & \Rightarrow\ A=b\ \text{lub}\ A=-b \end{cases}
Infografika

Ile rozwiązań ma |A|=b? Sprawdź prawą stronę

od znaku b zależy liczba przypadków

1

b < 0

brak rozwiązań — kończysz zadanie

2

b = 0

jedno równanie: A = 0

3

b > 0

dwa przypadki: A = b oraz A = −b

4

Zapisz odpowiedź

zbiór rozwiązań • np. x ∈ {−1 • 4}

Pamiętaj: Zawsze najpierw patrz na prawą stronę. Jeśli jest ujemna, nie ma rozwiązań — nie rozbijaj na przypadki.

Algorytm rozwiązywania zadań krok po kroku

1. Sprawdź prawą stronę b w równaniu A =b .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład rozwiązany

Przykład 1. Rozwiąż 2x-3 =5 .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Typowe pułapki i błędy

- Tylko jeden przypadek. Dla b 0 z A =b są dwa : A=b oraz A=-b .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Jak to wygląda na maturze?

Na maturze wartość bezwzględna pojawia się jako proste równanie, interpretacja odległości na osi, element nierówności, zadanie z przedziałami albo analiza wykresu funkcji z modułem. Wskazówka maturalna: najpierw spójrz na prawą stronę.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Kluczowe pojęcia

Wartość bezwzględna

Odległość liczby od zera na osi liczbowej.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Materiały ZPE

4 materiały
Źródła:MEN Podstawa programowa 2018: Matematyka PPCKE Informator maturalny: matematyka PPCKE arkusze maturalne — matematyka PPZPE: Matematyka

W tej lekcji

Postęp:13%
← Poprzednia lekcjaNastępna lekcja →