Dział MAT.2.1›Równania kwadratowe — delta, wzór i postać iloczynowa

Równania kwadratowe — delta, wzór i postać iloczynowa

Klasa 2Podstawa + PRDelta i pierwiastki

Równanie kwadratowe rozwiązuje się najczęściej przez rozkład na czynniki albo deltę. Znak Δ mówi, ile rozwiązań rzeczywistych istnieje, więc przed wypisaniem x₁ i x₂ zawsze sprawdź, czy delta jest dodatnia, zerowa czy ujemna.

⏱ ~33 min
Równania kwadratowe — delta, wzór i postać iloczynowa

Po co Ci ten temat?

Równania kwadratowe to rdzeń całego działu — bez nich trudno o nierówności, zadania z parametrem, funkcję kwadratową w geometrii i zadania tekstowe. Na sprawdzianie nie chodzi o wkucie wzoru, tylko o wybór najkrótszej metody: czasem delta, a czasem rozkład na czynniki w 20 sekund.

Słownictwo

Najważniejsza idea w prostych słowach

Równanie kwadratowe i jego wyróżnik:

ax2+bx+c=0,a≠0,Δ=b2−4acax^2+bx+c=0,\quad a\neq 0,\qquad \Delta=b^2-4ac
Znak Δ\DeltaLiczba rozwiązań rzeczywistych
Δ>0\Delta>0dwa: x1x_1 i x2x_2
Δ=0\Delta=0jedno (podwójne)
Δ<0\Delta<0brak rozwiązań rzeczywistych
x1=−b−Δ2a,x2=−b+Δ2a(Δ>0),x0=−b2a(Δ=0)x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\qquad x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\quad(\Delta>0),\qquad x_0=-\frac{b}{2a}\quad(\Delta=0)

Pierwiastek Δ\sqrt{\Delta} ma sens w R\mathbb{R} tylko dla Δ≥0\Delta\ge 0.

Postać iloczynowa:

Δ>0: ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2),Δ=0: ax2+bx+c=a(x−x0)2\Delta>0:\ ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2),\qquad \Delta=0:\ ax^2+bx+c=a(x-x_0)^2
Infografika

Równanie kwadratowe — którą metodę wybrać?

najpierw sprowadź do ax²+bx+c=0

1

Sprowadź do zera

np. x²=5x−6 → x²−5x+6=0

2

Widać łatwy rozkład?

małe liczby → szukaj czynników (iloczyn c • suma −b)

3

Jeśli nie — policz Δ=b²−4ac

znak Δ daje liczbę rozwiązań

4

Pierwiastki

Δ>0: dwa ze wzorów; Δ=0: x₀=−b/2a; Δ<0: brak rzeczywistych

5

Postać iloczynowa lub sens

a(x−x₁)(x−x₂); w zadaniu odrzuć bezsensowne (np. ujemny bok)

Pamiętaj: Małe liczby? najpierw spróbuj rozkładu. Zawsze sprowadź równanie do zera, zanim odczytasz a, b, c.

Algorytm rozwiązywania zadań krok po kroku

1. Doprowadź równanie do postaci ax^2+bx+c=0 .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Przykład rozwiązany

Przykład 1 (rozkład). x^2-5x+6=0 — szukamy liczb o iloczynie 6 i sumie 5 (to 2 i 3 ): (x-2)(x-3)=0 , więc x=2 lub x=3 .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Rozszerzenie PR — ROW.08: wzory Viète'a

Gdy równanie ax^2+bx+c=0 ( a\neq 0 ) ma pierwiastki x 1,x 2 , to bez liczenia pierwiastków : x 1+x 2=-\frac{b}{a},\qquad x 1\cdot x 2=\frac{c}{a} Przykład: dla x^2-5x+6=0 suma to 5 , iloczyn to 6 — liczby 2 i 3 pasują, więc x 1=2 , x 2=3 .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Rozszerzenie PR — ROW.10: równania dwukwadratowe

Równanie ax^4+bx^2+c=0 rozwiązujemy podstawieniem t=x^2 (z warunkiem t\ge 0 ). Przykład: x^4-5x^2+4=0 .

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Przykład

Typowe pułapki i błędy

- Liczenie delty bez sprowadzenia do zera. Najpierw ax^2+bx+c=0 , dopiero potem odczytaj a,b,c (np.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Jak to wygląda na maturze?

Równanie kwadratowe często jest tylko fragmentem zadania: najpierw układasz je z treści, potem rozwiązujesz. Schemat: ułóż równanie → sprowadź do ax^2+bx+c=0 → rozwiąż deltą albo rozkładem → sprawdź, które rozwiązania mają sens (np.

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Kluczowe pojęcia

Równanie kwadratowe

Równanie postaci ax²+bx+c=0, gdzie a≠0

🔒 Zaloguj się, aby zobaczyć całość

Materiały ZPE

4 materiały
Źródła:MEN Podstawa programowa 2018: Matematyka PPCKE Informator maturalny: matematyka PPCKE arkusze maturalne — matematyka PPZPE: Matematyka

W tej lekcji

Postęp:10%
← Poprzednia lekcjaNastępna lekcja →