Twierdzenie sinusów i cosinusów włączają trygonometrię w dowolnym trójkącie, nie tylko prostokątnym. Najprostsza zasada: twierdzenie sinusów działa na pary bok–kąt naprzeciwko, a twierdzenie cosinusów jest dobre, gdy znasz dwa boki i kąt między nimi albo trzy boki.
Do tej pory trygonometria działała głównie w trójkącie prostokątnym. Ale w zadaniach często trójkąt nie ma kąta 90°. Wtedy masz dwa główne narzędzia: twierdzenie sinusów i twierdzenie cosinusów.
Nie musisz ich traktować jak abstrakcyjnych wzorów. To są dwa algorytmy do dobierania brakujących boków i kątów w zwykłym trójkącie.
Słownictwo
Oznaczenia w trójkącie:
Twierdzenie sinusów:
a/sin α = b/sin β = c/sin γ
Używaj, gdy masz parę bok–kąt naprzeciwko i szukasz kolejnej pary.
Twierdzenie cosinusów:
c² = a² + b² − 2ab cos γ
Używaj, gdy znasz dwa boki i kąt między nimi albo gdy znasz trzy boki i chcesz obliczyć kąt.
| Sytuacja w zadaniu | Najlepsze narzędzie |
|---|---|
| znam bok i kąt naprzeciw niego oraz drugi kąt lub bok | twierdzenie sinusów |
| znam dwa boki i kąt między nimi | twierdzenie cosinusów |
| znam trzy boki i szukam kąta | twierdzenie cosinusów |
| trójkąt jest prostokątny | zwykły sin/cos/tg albo Pitagoras |
1. Zrób rysunek i podpisz boki naprzeciw odpowiednich kątów.
Przykład
W trójkącie dane są boki a=6, b=8 oraz kąt γ=60° między tymi bokami. Oblicz bok c leżący naprzeciw kąta γ.
Najczęstszy błąd: uczeń używa twierdzenia sinusów bez pary bok–kąt naprzeciwko. Wtedy brakuje punktu zaczepienia.
Na maturze najczęściej trzeba dobrać właściwe twierdzenie, a nie tylko podstawić do wzoru. Zadanie często wygląda tak: - jest trójkąt bez kąta prostego, - podane są dwa boki i kąt między nimi, - trzeba obliczyć trzeci bok, pole albo spr…
Twierdzenie sinusów
Zależność a/sin α = b/sin β = c/sin γ, łącząca boki trójkąta z kątami naprzeciwko nich