Wielokąt wpisany ma wszystkie wierzchołki na okręgu, a wielokąt opisany ma wszystkie boki styczne do okręgu. W zadaniach najważniejsze jest od razu rozpoznać, czy pracujesz z promieniami do wierzchołków, czy z promieniami do punktów styczności.
Wielokąty wpisane i opisane wyglądają podobnie, ale w zadaniach uruchamiają zupełnie inne informacje. Gdy wielokąt jest wpisany w okrąg, wierzchołki leżą na okręgu. Gdy jest opisany na okręgu, boki dotykają okręgu.
To ważne, bo maturzyści często tracą punkty nie na trudnych rachunkach, tylko na złym rozpoznaniu sytuacji z rysunku.
Słownictwo
Wielokąt wpisany w okrąg:
Wielokąt opisany na okręgu:
| Typ sytuacji | Co jest na okręgu? | Najczęstsza własność |
|---|---|---|
| wielokąt wpisany | wierzchołki | kąty wpisane, równe promienie |
| wielokąt opisany | punkty styczności na bokach | promień prostopadły do boku |
Dla czworokąta wpisanego w okrąg ważna własność:
Suma miar przeciwległych kątów wynosi 180°.
Dla czworokąta opisanego na okręgu:
Suma długości przeciwległych boków jest równa.
Czyli a+c=b+d.
1. Ustal, czy wielokąt jest wpisany w okrąg, czy opisany na okręgu.
Przykład
Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg. Kąt A ma 72°.
Najczęstszy błąd: uczeń myli określenia „wpisany” i „opisany”. Wpisany oznacza, że wierzchołki leżą na okręgu.
Na maturze często dostajesz rysunek z czworokątem i okręgiem. Zadanie może pytać o brakujący kąt, bok albo uzasadnienie.
Wielokąt wpisany w okrąg
Wielokąt, którego wszystkie wierzchołki leżą na okręgu.