Tożsamości trygonometryczne to narzędzia do zamiany jednej postaci wyrażenia na inną, a nie ozdobna teoria. Najczęściej używasz sin²x+cos²x=1 oraz znaków funkcji w ćwiartkach, żeby uprościć wyrażenie albo policzyć brakującą wartość.
W zadaniach z trygonometrii często nie dostajesz od razu kąta 30° albo 60°. Zamiast tego masz informację typu: sin α=3/5 i α jest w II ćwiartce. Twoim zadaniem jest obliczyć cos α albo tg α. Właśnie tu wchodzą tożsamości.
Wzory redukcyjne pomagają z kolei zamienić funkcję kąta typu 180°−α, 180°+α, 360°−α albo π−α na funkcję kąta α. Dzięki temu nie liczysz wszystkiego od zera.
Słownictwo
Najważniejsza tożsamość:
sin²α + cos²α = 1
Z niej można wyprowadzić:
cos²α = 1 − sin²α
sin²α = 1 − cos²α
Tangens:
tg α = sin α / cos α, gdy cos α ≠ 0
Najważniejsze redukcje intuicyjnie:
| Kąt | Co się dzieje? |
|---|---|
| 180°−α | II ćwiartka: sin +, cos −, tg − |
| 180°+α | III ćwiartka: sin −, cos −, tg + |
| 360°−α | IV ćwiartka: sin −, cos +, tg − |
| 90°−α | funkcje dopełniające: sin zamienia się z cos |
Nie próbuj uczyć się redukcji jako długiej listy. Myśl: jaka ćwiartka i jaki znak?
1. Zapisz dane z zadania, np.
Przykład
Dane: cos α=−12/13 i α leży w II ćwiartce. Oblicz sin α i tg α.
- Uczeń po pierwiastkowaniu bierze zawsze wynik dodatni. Fałsz: znak zależy od ćwiartki.
Typowe zadanie maturalne brzmi: „Dany jest sinus albo cosinus kąta oraz informacja o ćwiartce. Oblicz pozostałe funkcje trygonometryczne”.
Tożsamość trygonometryczna
Równość prawdziwa dla wszystkich kątów, dla których obie strony mają sens.