Odległość punktu od prostej liczysz jednym wzorem, ale tylko wtedy, gdy prosta jest w postaci ogólnej Ax+By+C=0. Najczęstszy błąd to podstawienie do wzoru prostej zapisanej jako y=ax+b bez wcześniejszego przeniesienia wszystkiego na jedną stronę.
Ten wzór wygląda groźnie, ale w praktyce jest jednym z najbardziej mechanicznych narzędzi w geometrii analitycznej. Przydaje się, gdy trzeba policzyć wysokość trójkąta, odległość punktu od boku, promień okręgu stycznego do prostej albo sprawdzić, jak daleko punkt leży od pewnej linii.
W zadaniach maturalnych często nie ma polecenia „oblicz odległość punktu od prostej”. Zamiast tego jest np. „oblicz pole trójkąta”, a wysokość musisz znaleźć właśnie tym wzorem.
Poziom: część wspólna PP/R; na rozszerzeniu częściej pojawia się jako fragment dłuższego zadania.
Odległość punktu P=(x₀,y₀) od prostej Ax+By+C=0 wynosi:
d=|Ax₀+By₀+C|/√(A²+B²)
Warunek krytyczny:
prosta musi być zapisana jako Ax+By+C=0.
Jeśli masz y=2x−3, najpierw przenieś wszystko na jedną stronę:
2x−y−3=0
Dopiero wtedy możesz odczytać A=2, B=−1, C=−3.
1. Zapisz punkt jako P=(x₀,y₀).
Przykład
Oblicz odległość punktu P=(2,−1) od prostej y=3x+4. Krok 1: doprowadzamy prostą do postaci ogólnej.
- Uczeń podstawia do wzoru prostej y=ax+b. Błąd: najpierw trzeba mieć Ax+By+C=0.
CKE lubi ukrywać ten wzór w zadaniach o polu. Przykład schematu: 1.
Odległość punktu od prostej
Najkrótsza odległość od punktu do prostej, czyli długość odcinka prostopadłego do tej prostej.