Okrąg w układzie współrzędnych rozpoznajesz po wzorze (x−a)²+(y−b)²=r². Najważniejsze jest odczytać środek, promień i umieć sprawdzić, czy prosta przecina okrąg, jest styczna czy nie ma punktów wspólnych.
Okrąg łączy geometrię z algebrą. W jednym zadaniu możesz mieć równanie okręgu, prostą, punkt styczności, cięciwę albo sprawdzenie, czy punkt leży na okręgu.
To jest ważne, bo zadania z okręgiem często wyglądają trudniej niż są. Jeśli umiesz odczytać środek i promień, połowa pracy jest zrobiona.
Poziom: część wspólna PP/R; na rozszerzeniu częściej pojawiają się zadania z parametrem, stycznymi i układami równań.
Okrąg o środku S=(a,b) i promieniu r ma równanie:
(x−a)²+(y−b)²=r²
Przykład:
(x−3)²+(y+2)²=25
Środek: S=(3,−2)
Promień: r=5
Uwaga na znaki: jeśli masz (y+2), to środek ma y=−2.
Wzajemne położenie prostej i okręgu można sprawdzać na dwa sposoby:
Jeśli d<r — prosta przecina okrąg w dwóch punktach.
Jeśli d=r — prosta jest styczna.
Jeśli d>r — prosta nie ma punktów wspólnych z okręgiem.
1. Doprowadź równanie okręgu do postaci (x−a)²+(y−b)²=r², jeśli się da.
Przykład
Sprawdź, czy prosta y=1 jest styczna do okręgu (x−2)²+(y−4)²=9. Krok 1: odczytujemy środek i promień.
- Uczeń źle odczytuje środek z nawiasu. (x−3) daje x=3, a (x+3) daje x=−3.
Przykład
Typowe zadania: - odczytaj środek i promień okręgu, - wyznacz równanie okręgu o danym środku i promieniu, - sprawdź, czy punkt leży na okręgu, - sprawdź, czy prosta jest styczna, - znajdź punkty przecięcia prostej z okręgiem, - użyj okrę…
Równanie okręgu
Zapis (x−a)²+(y−b)²=r², który opisuje wszystkie punkty w odległości r od środka S=(a,b).