Schemat Bernoulliego i zadania z urnami

CKE lubi zadania, w których uczeń musi rozpoznać model losowania. Szczególnie ważne są dwie sytuacje:

1. Urna / pudełko / worek — losowanie kul, kartek, żetonów.
2. Powtarzane próby — np. kilka rzutów, kilka strzałów, kilka losowań.

Schemat Bernoulliego stosujesz, gdy:

• każda próba ma dwa wyniki: sukces albo porażka,
• prawdopodobieństwo sukcesu p jest w każdej próbie takie samo,
• próby są niezależne,
• pytanie brzmi: jakie jest prawdopodobieństwo dokładnie k sukcesów w n próbach?

Wzór:

P(X=k)=C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k)

Poziom: rozszerzenie/maturalne pogłębienie. W podstawowych zadaniach często wystarczy drzewko lub reguła mnożenia, ale Bernoulli przyspiesza zadania z powtarzanymi próbami.

1. Ustal, co jest sukcesem. Np. trafienie, wyrzucenie szóstki, wylosowanie czerwonej kuli.
2. Sprawdź, ile jest prób n. Np. 5 rzutów, 4 strzały, 3 losowania.
3. Sprawdź, ile sukcesów k ma wystąpić. Dokładnie 2, co najmniej 1, najwyżej 3?
4. Ustal p. To prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie.
5. Sprawdź niezależność. Ze zwracaniem zwykle tak; bez zwracania zwykle nie.
6. Wybierz wzór albo dopełnienie. Dla „co najmniej jeden” często liczysz 1−P(0 sukcesów).