W nierównościach wykładniczych i logarytmicznych nie wystarczy „zdjąć” potęgę albo logarytm. Musisz pilnować, czy funkcja jest rosnąca czy malejąca, bo wtedy znak nierówności może się odwrócić.
Słownictwo
Nierówności z potęgami i logarytmami są trudniejsze od równań, bo dochodzi znak nierówności. Najważniejsze pytanie brzmi: czy funkcja, której używasz, jest rosnąca czy malejąca?
| Funkcja | Dla jakiej podstawy? | Co dzieje się ze znakiem? |
|---|---|---|
| aˣ | a>1 | funkcja rośnie, znak zostaje |
| aˣ | 0<a<1 | funkcja maleje, znak się odwraca |
| logₐ x | a>1 | funkcja rośnie, znak zostaje |
| logₐ x | 0<a<1 | funkcja maleje, znak się odwraca |
Poziom: nierówności z podstawą między 0 a 1 są szczególnie ważne na rozszerzeniu, bo łatwo stracić punkt przez nieodwrócenie znaku.
Przykład
Rozwiąż nierówność: (1/2)ˣ < 1/8 Krok 1. Sprowadź prawą stronę do tej samej podstawy.
- Brak odwrócenia znaku przy podstawie 0<a<1. - Rozwiązywanie nierówności logarytmicznej bez dziedziny.
- Czy podstawa jest większa od 1? - Czy podstawa jest między 0 a 1 i trzeba odwrócić znak?
Nierówność wykładnicza
Nierówność, w której niewiadoma występuje w wykładniku potęgi