Twierdzenie sinusów wybierasz wtedy, gdy w zadaniu pojawia się bok naprzeciw kąta, a twierdzenie cosinusów wtedy, gdy masz układ bok–kąt–bok albo trzy boki. Największa sztuka to nie samo podstawienie, tylko rozpoznanie, którego twierdzenia użyć.
Słownictwo
W zadaniach maturalnych z trójkątami często dostajesz fragment informacji: dwa boki i kąt, dwa kąty i bok albo trzy boki. CKE sprawdza, czy umiesz dobrać narzędzie.
Najważniejszy wybór:
| Sytuacja w zadaniu | Najczęściej używasz |
|---|---|
| znasz bok i kąt naprzeciw niego | twierdzenie sinusów |
| znasz dwa kąty i jeden bok | twierdzenie sinusów |
| znasz dwa boki i kąt między nimi | twierdzenie cosinusów |
| znasz trzy boki i szukasz kąta | twierdzenie cosinusów |
| liczysz pole z dwóch boków i kąta między nimi | P=(1/2)ab sin γ |
Twierdzenie sinusów:
a/sin α = b/sin β = c/sin γ
Twierdzenie cosinusów:
c² = a² + b² − 2ab cos γ
Poziom: twierdzenie sinusów i cosinusów jest szkolno-maturalne, ale zadania z wyborem metody i wieloma krokami są typowo rozszerzające.
Przykład
W trójkącie dane są boki a=7, b=9 oraz kąt γ=60° między nimi. Oblicz trzeci bok c.
- Uczeń podstawia kąt, który nie leży między dwoma znanymi bokami, do twierdzenia cosinusów. - Uczeń myli pary w twierdzeniu sinusów: bok musi być naprzeciw swojego kąta.
- Czy narysowałem trójkąt? - Czy bok i kąt są dobrze sparowane?
Twierdzenie sinusów
Zależność a/sin α = b/sin β = c/sin γ, przydatna, gdy znamy parę bok–kąt naprzeciw siebie