Prędkości kosmiczne (I i II)

Co się właśnie stało?

Zmieniłeś masę ciała niebieskiego — obie prędkości urosły, ale prędkość ucieczki pozostała dokładnie $\sqrt{2}$ razy większa od orbitalnej. Ten stosunek nie zależy od planety.

Prędkości kosmiczne:

$v_I$ — pierwsza prędkość kosmiczna: minimalna prędkość, by krążyć po orbicie kołowej tuż przy powierzchni. $v_{II}$ — druga prędkość kosmiczna: minimalna prędkość, by całkowicie uciec z pola grawitacyjnego. G — stała grawitacji, M — masa ciała, R — jego promień.

Dlaczego zależą od M i R?

Większa masa M „przyciąga" mocniej → trzeba lecieć szybciej. Większy promień R oddala nas od środka, słabsza grawitacja przy powierzchni → prędkości maleją. Dla Ziemi $v_I\approx 7{,}9$ km/s, a $v_{II}\approx 11{,}2$ km/s.

Czemu z Księżyca łatwiej odlecieć?

Księżyc ma małą masę i promień, więc obie prędkości są kilkukrotnie mniejsze niż na Ziemi ($v_{II}\approx 2{,}4$ km/s). Dlatego lądownik potrzebował dużo mniej paliwa, by wystartować z powrotem. To ta sama fizyka, co grawitacja powszechnego ciążenia.

Po co Ci to na maturze:

Wzory $v_I=\sqrt{GM/R}$ i $v_{II}=v_I\sqrt{2}$ rozwiązują większość zadań o satelitach i ucieczce. Chwyt: policz $v_I$, a drugą prędkość dostajesz mnożąc przez $\sqrt{2}$.

Zapamiętaj: prędkość ucieczki jest zawsze $\sqrt{2}$ razy większa od orbitalnej — niezależnie od tego, z jakiej planety startujesz.