Wirtualne laboratorium/Matematyka/Algebra/Liczby zespolone na płaszczyźnie
Wielkie odkrycie 1806 — Argand, Gauss

Liczby zespolone na płaszczyźnie

Rozszerzenie tematu liczb zespolonych. Liczbę a+bi przedstawiamy jako punkt na płaszczyźnie (oś rzeczywista i urojona); i²=-1, a mnożenie przez i to obrót o 90°, mnożenie przez liczbę = obrót + skalowanie. Tę geometryczną interpretację podał Jean-Robert Argand (1806, „płaszczyzna Arganda"), a spopularyzował Carl Friedrich Gauss (1831) — uczyniła ona „urojone" liczby namacalnymi.

Liczby zespolone na płaszczyźnie
Matematyka · Algebra · Liczby zespolone na płaszczyźnie (1806)
Operacja na liczbie z=a+biz = a + bi — zobacz jej sens geometryczny:
Mnożenie liczby zespolonej przez ii odpowiada na płaszczyźnie…
liczba z
2 + i
wynik
3 + i
moduł |wynik|
3.162
argument
18.4°
🎯 Wyzwanie: o ile obróci mnożenie?
seria: 0

Dam Ci mnożnik w — zgadnij, o ile stopni obróci wektor. Przy mnożeniu kąty się dodają: kąt obrotu = arg(w).

Liczby zespolone stają się namacalne

Liczby postaci z=a+biz = a + bi, gdzie i2=−1i^2 = -1, długo uważano za „urojone” i podejrzane — aż interpretacja geometryczna uczyniła je namacalnymi. Jean-Robert Argand w 1806 r. (a wcześniej, niezauważony, Caspar Wessel w 1799 r.) pokazał, że liczbę zespoloną można przedstawić jako punkt na płaszczyźnie — stąd nazwa „płaszczyzna Arganda”. Carl Friedrich Gauss spopularyzował tę interpretację (1831).

Punkt na płaszczyźnie zespolonej:

z=a+bi,i2=−1z = a + bi, \qquad i^2 = -1

Oś pozioma to część rzeczywista aa, oś pionowa — część urojona bb. Liczbę zz traktujemy jak wektor od początku układu do punktu (a,b)(a, b).

Działania mają prostą geometrię:

Dodawanie to przesunięcie wektorów. Mnożenie to obrót połączony ze skalowaniem — a mnożenie przez ii to czysty obrót o 90°, bo i⋅(a+bi)=ai+bi2=−b+aii\cdot(a+bi) = ai + bi^2 = -b + ai, czyli punkt (a,b)(a,b) przechodzi na (−b,a)(-b, a).

Niezmiennik mnożenia:

∣z1z2∣=∣z1∣ ∣z2∣,arg⁡(z1z2)=arg⁡(z1)+arg⁡(z2)|z_1 z_2| = |z_1|\,|z_2|, \qquad \arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)

— przy mnożeniu moduły się mnożą, a argumenty (kąty) dodają. Dlatego mnożenie przez ii (moduł 1, argument 90°) obraca bez zmiany długości, a mnożenie przez w=1+iw = 1 + i (moduł 2\sqrt{2}, argument 45°) obraca o 45° i wydłuża wektor 2\sqrt{2} razy.

Po co Ci to na maturze i dalej:

Dzięki tej interpretacji liczby zespolone stały się potężnym narzędziem w geometrii, fizyce (prąd zmienny, mechanika kwantowa), inżynierii i przetwarzaniu sygnałów. To rozszerzenie zbioru liczb rzeczywistych, w którym każda operacja ma sens geometryczny.

Zapamiętaj: na płaszczyźnie dodawanie to przesunięcie, a mnożenie to obrót + skalowanie — mnożenie przez ii to obrót o 90°.

Model poglądowy · Wirtualne laboratorium NexTutor

Spodobał Ci się eksperyment? Udostępnij go.

Jest darmowy — podeślij znajomym ze szkoły.

Teoria i wzory

Liczba zespolona jako punkt

Liczbę z=a+biz=a+bi przedstawiamy jako punkt (a,b)(a,b) na płaszczyźnie: oś pozioma to część rzeczywista, pionowa — urojona. Jednostka urojona spełnia i2=−1i^2=-1.

Moduł i argument

  • moduł (odległość od 00): ∣z∣=a2+b2\lvert z\rvert=\sqrt{a^2+b^2}
  • argument φ\varphi to kąt, jaki promień 0z0z tworzy z osią rzeczywistą
  • postać trygonometryczna: z=∣z∣(cos⁡φ+isin⁡φ)z=\lvert z\rvert(\cos\varphi+i\sin\varphi)

Mnożenie = obrót i skalowanie

Przy mnożeniu moduły się mnożą, a argumenty dodają: ∣z1z2∣=∣z1∣ ∣z2∣,arg⁡(z1z2)=arg⁡z1+arg⁡z2\lvert z_1 z_2\rvert=\lvert z_1\rvert\,\lvert z_2\rvert,\qquad \arg(z_1 z_2)=\arg z_1+\arg z_2 Mnożenie przez ii (moduł 11, argument 90∘90^\circ) to czysty obrót o 90∘90^\circ.

Oznaczenia: z=a+biz=a+bi liczba zespolona, aa część rzeczywista, bb urojona, ii jednostka urojona (i2=−1i^2=-1), ∣z∣\lvert z\rvert moduł, φ\varphi argument.

Uczysz? Umieść ten eksperyment na swojej stronie.

Darmowy widget — wklej na stronę szkoły, bloga lub notatki. Linkuje do pełnej wersji.

Uczysz w klasie albo korepetujesz? Prowadź uczniów w NexTutor →

Najczęstsze pytania

›

Czemu geometrycznie odpowiada mnożenie liczby zespolonej przez i?

Obrotowi punktu o 90° wokół początku układu współrzędnych.

›

Jak przedstawiamy liczbę zespoloną na płaszczyźnie?

Jako punkt (a,b): oś pozioma to część rzeczywista a, oś pionowa to część urojona b.

›

Co dzieje się przy mnożeniu liczb zespolonych?

Ich moduły się mnożą, a argumenty (kąty) dodają: |z₁z₂|=|z₁||z₂|.

Powiązane eksperymenty

Tożsamość Eulera — najpiękniejszy wzór →Fraktal Newtona — baseny przyciągania →Zbiór Mandelbrota — geometria fraktalna →Równania 5. stopnia — nie ma wzoru →