Równania 5. stopnia — nie ma wzoru

Co się właśnie stało?

To jeden z najbardziej dramatycznych wyników w całej algebrze. Dla równania kwadratowego każdy zna wzór z deltą — pierwiastki liczymy wprost ze współczynników:

Dla równań 3. stopnia (wzory Cardana) i 4. stopnia (wzory Ferrariego) — odkrytych już w XVI wieku — też istnieją ogólne wzory, tylko coraz bardziej skomplikowane. Naturalnie sądzono, że dla stopnia 5 kiedyś też ktoś znajdzie wzór.

Twierdzenie Abela–Ruffiniego (1824):

Młody norweski matematyk Niels Henrik Abel udowodnił, że dla równań stopnia 5 i wyższego ogólnego wzoru na pierwiastki wyrażonego przez pierwiastniki (działania arytmetyczne + pierwiastki) po prostu NIE MA — i nigdy nie będzie:

Uwaga: to nie znaczy, że równania 5. stopnia nie mają rozwiązań. Mają je — na scenie widać wykres z pięcioma miejscami zerowymi. Chodzi o to, że nie da się ich zapisać jednym uniwersalnym wzorem przez pierwiastniki (konkretne pierwiastki można wyznaczyć numerycznie).

Teoria Galois — dlaczego tak jest:

Głębsze wyjaśnienie, które równania da się rozwiązać przez pierwiastniki, dał genialny, tragicznie młody Francuz Évariste Galois — twórca teorii grup i teorii Galois. Zginął w pojedynku w 1832 r., mając zaledwie 20 lat, spisawszy swoje przełomowe idee w noc przed śmiercią. Pokazał, że rozwiązywalność równania zależy od jego struktury algebraicznej — tzw. grupy Galois. Dla „typowych” równań stopnia ≥ 5 ta grupa nie ma odpowiedniej struktury, więc wzoru być nie może.

Po co Ci to na maturze:

Kontrast z funkcją kwadratową porządkuje myślenie o równaniach wielomianowych: wzór z deltą to wyjątek, nie reguła. Warto wiedzieć, że matematyka potrafi udowodnić nie tylko „jak coś zrobić”, ale i „że czegoś zrobić się NIE DA” — a odkrycie Abela i Galois zapoczątkowało nowoczesną algebrę abstrakcyjną (teorię grup).

Zapamiętaj: ogólny wzór na pierwiastki przez pierwiastniki istnieje dla równań stopnia $n \leq 4$ (delta, Cardano, Ferrari), a dla $n \geq 5$ udowodniono, że go nie ma (Abel–Ruffini, 1824). Rozwiązania jednak istnieją — a o rozwiązywalności decyduje struktura (grupa Galois) równania.