Równania 5. stopnia — nie ma wzoru
Rozszerzenie tematu równań wielomianowych (kontrast z funkcją kwadratową). Dla równań stopnia 2-4 istnieją wzory na pierwiastki przez pierwiastniki, ale dla stopnia ≥5 udowodniono, że ogólnego wzoru nie ma (twierdzenie Abela-Ruffiniego, 1824). Rozwiązywalność zależy od struktury (grupy Galois) równania. Évariste Galois, twórca teorii, zginął w pojedynku w 1832 r., mając 20 lat.
Dam Ci stopień równania — zdecyduj, czy istnieje ogólny wzór na pierwiastki przez pierwiastniki. Granica: n ≤ 4 tak, n ≥ 5 nie.
Co się właśnie stało?
To jeden z najbardziej dramatycznych wyników w całej algebrze. Dla równania kwadratowego każdy zna wzór z deltą — pierwiastki liczymy wprost ze współczynników:
Dla równań 3. stopnia (wzory Cardana) i 4. stopnia (wzory Ferrariego) — odkrytych już w XVI wieku — też istnieją ogólne wzory, tylko coraz bardziej skomplikowane. Naturalnie sądzono, że dla stopnia 5 kiedyś też ktoś znajdzie wzór.
Twierdzenie Abela–Ruffiniego (1824):
Młody norweski matematyk Niels Henrik Abel udowodnił, że dla równań stopnia 5 i wyższego ogólnego wzoru na pierwiastki wyrażonego przez pierwiastniki (działania arytmetyczne + pierwiastki) po prostu NIE MA — i nigdy nie będzie:
Uwaga: to nie znaczy, że równania 5. stopnia nie mają rozwiązań. Mają je — na scenie widać wykres z pięcioma miejscami zerowymi. Chodzi o to, że nie da się ich zapisać jednym uniwersalnym wzorem przez pierwiastniki (konkretne pierwiastki można wyznaczyć numerycznie).
Teoria Galois — dlaczego tak jest:
Głębsze wyjaśnienie, które równania da się rozwiązać przez pierwiastniki, dał genialny, tragicznie młody Francuz Évariste Galois — twórca teorii grup i teorii Galois. Zginął w pojedynku w 1832 r., mając zaledwie 20 lat, spisawszy swoje przełomowe idee w noc przed śmiercią. Pokazał, że rozwiązywalność równania zależy od jego struktury algebraicznej — tzw. grupy Galois. Dla „typowych” równań stopnia ≥ 5 ta grupa nie ma odpowiedniej struktury, więc wzoru być nie może.
Po co Ci to na maturze:
Kontrast z funkcją kwadratową porządkuje myślenie o równaniach wielomianowych: wzór z deltą to wyjątek, nie reguła. Warto wiedzieć, że matematyka potrafi udowodnić nie tylko „jak coś zrobić”, ale i „że czegoś zrobić się NIE DA” — a odkrycie Abela i Galois zapoczątkowało nowoczesną algebrę abstrakcyjną (teorię grup).
Zapamiętaj: ogólny wzór na pierwiastki przez pierwiastniki istnieje dla równań stopnia (delta, Cardano, Ferrari), a dla udowodniono, że go nie ma (Abel–Ruffini, 1824). Rozwiązania jednak istnieją — a o rozwiązywalności decyduje struktura (grupa Galois) równania.
Teoria i wzory
Wzory dla niskich stopni
Dla równania kwadratowego istnieje wzór z deltą: Analogiczne (coraz bardziej skomplikowane) wzory istnieją też dla stopnia i .
Twierdzenie Abela-Ruffiniego
Dla równań stopnia nie istnieje ogólny wzór wyrażający pierwiastki przez współczynniki za pomocą działań oraz pierwiastników .
Co z rozwiązaniami
Rozwiązania istnieją zawsze (zasadnicze twierdzenie algebry daje pierwiastków zespolonych z krotnościami) — brakuje tylko ogólnego wzoru. Rozwiązywalność „przez pierwiastniki” zależy od struktury grupy Galois równania.
Oznaczenia: współczynniki, wyróżnik, stopień równania.
Uczysz? Umieść ten eksperyment na swojej stronie.
Darmowy widget — wklej na stronę szkoły, bloga lub notatki. Linkuje do pełnej wersji.
Najczęstsze pytania
›Czy istnieje ogólny wzór na pierwiastki równania 5. stopnia?
Nie — udowodnił to Niels Abel w 1824 r. (twierdzenie Abela-Ruffiniego); dla stopnia ≥5 takiego wzoru nie ma.
›Czy równania 5. stopnia mają rozwiązania?
Tak, mają — tylko nie da się ich wyrazić ogólnym wzorem przez pierwiastniki.
›Kim był Évariste Galois?
Genialnym matematykiem, twórcą teorii grup i teorii Galois, który zginął w pojedynku w 1832 r. w wieku 20 lat.