Układ równań liniowych — proste równoległe

Układ dwóch równań to dwie proste

Każde równanie liniowe $y = ax + b$ to prosta na płaszczyźnie. Układ dwóch takich równań opisuje dwie proste:

Rozwiązanie układu to para $(x, y)$ spełniająca oba równania jednocześnie — czyli punkt wspólny obu prostych. Dlatego liczba rozwiązań układu równa się liczbie punktów wspólnych prostych.

Trzy możliwe przypadki:

Proste przecinają się ($a_1 \neq a_2$) — mają dokładnie jeden punkt wspólny → jedno rozwiązanie. Punkt przecięcia:

Proste równoległe różne ($a_1 = a_2 \;\wedge\; b_1 \neq b_2$) — mają to samo nachylenie, lecz przesunięte są w pionie, więc nigdy się nie spotkają. Zbiór rozwiązań jest pusty — układ sprzeczny, brak rozwiązań.

Proste pokrywają się ($a_1 = a_2 \;\wedge\; b_1 = b_2$) — to ta sama prosta, każdy jej punkt jest wspólny → nieskończenie wiele rozwiązań (układ nieoznaczony).

Jak rozwiązać taki układ?

Metoda podstawiania — z jednego równania wyznacz zmienną i wstaw do drugiego. Metoda przeciwnych współczynników — pomnóż równania tak, by po dodaniu jedna zmienna się skróciła.

Dla układu w postaci ogólnej można też użyć wyznacznika. Zapisując proste jako $a_1x - y = -b_1$ oraz $a_2x - y = -b_2$, wyznacznik główny to:

$W \neq 0$ (czyli $a_1 \neq a_2$) → dokładnie jedno rozwiązanie. Gdy $W = 0$, układ jest sprzeczny (brak) albo nieoznaczony (nieskończenie wiele) — rozstrzyga porównanie wyrazów wolnych.

Po co Ci to na maturze:

Zanim ruszysz rachunki, porównaj nachylenia. Równe nachylenia to sygnał: albo brak rozwiązań, albo nieskończenie wiele — o wyniku decyduje wtedy wyraz wolny. To oszczędza czas i chroni przed błędem.

Zapamiętaj: liczba rozwiązań układu = liczba punktów wspólnych prostych. Równoległe różne ($a_1=a_2,\; b_1\neq b_2$) → zbiór rozwiązań pusty, układ sprzeczny.