Metoda Newtona — szukanie pierwiastków

Co się właśnie stało?

Szukamy miejsca zerowego funkcji $f(x) = x^2 - 2$ — czyli liczby $\sqrt{2}$. Startując z $x_0 = 2$, prowadzimy styczną do wykresu w tym punkcie i patrzymy, gdzie przecina ona oś X. To daje lepsze przybliżenie $x_1$. Powtarzamy — i już po kilku krokach trafiamy w pierwiastek z ogromną dokładnością.

Metoda Newtona (Newtona-Raphsona):

To jeden z najważniejszych algorytmów numerycznych — szybko znajduje przybliżone rozwiązania równań $f(x)=0$, których nie da się rozwiązać dokładnie wzorem. Isaac Newton opracował ją ok. 1669 r. (w „De analysi"), a Joseph Raphson uprościł jej zapis w 1690 r. Idea: w każdym kroku zastępujemy skomplikowaną funkcję jej styczną (najlepszym lokalnym przybliżeniem liniowym) i bierzemy miejsce zerowe stycznej jako lepsze przybliżenie pierwiastka.

Wzór iteracyjny:

Dla $f(x)=x^2-2$ mamy $f'(x)=2x$, więc $x_{n+1}=\tfrac12\!\left(x_n+\tfrac{2}{x_n}\right)$. Kolejno: $x_0=2$, $x_1=1{,}5$, $x_2=1{,}41\overline{6}$, $x_3=1{,}4142157\dots$, $x_4=1{,}41421356\dots$

Niezmiennik — styczna wyznacza kierunek:

Każdy krok korzysta z nachylenia stycznej $f'(x_n)$ w bieżącym punkcie — to ono wskazuje, gdzie leży następne, lepsze przybliżenie. Metoda zbiega kwadratowo: liczba poprawnych cyfr mniej więcej podwaja się z każdą iteracją, więc już po kilku krokach osiągamy ogromną dokładność — znacznie szybciej niż np. metoda bisekcji (połowienia).

Po co Ci to na maturze:

Metoda Newtona to praktyczne zastosowanie rachunku różniczkowego (pochodnej jako nachylenia stycznej) i podstawa obliczeń numerycznych — działa w kalkulatorach, komputerach, grafice i optymalizacji. Chwyt: pochodna $f'(x)$ to nachylenie stycznej, a jej miejsce zerowe to następne przybliżenie $x_{n+1}$.

Zapamiętaj: metoda stycznych zamienia trudne równanie $f(x)=0$ na ciąg prostych kroków $x_{n+1}=x_n-\tfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$, który zbiega do pierwiastka błyskawicznie — cyfra po cyfrze, coraz szybciej.