Problem trzech ciał

Co się właśnie stało?

Trzy ciała przyciągają się grawitacyjnie i splatają w nieregularny taniec. Drobna zmiana warunków początkowych (suwak $s$) prowadzi do zupełnie innego przebiegu — mimo że każdy krok jest w pełni określony prawami Newtona. To jest właśnie chaos deterministyczny.

Dwa ciała — łatwo, trzy — nie:

Dla dwóch ciał (np. Słońce–planeta) Kepler i Newton pokazali, że orbita to krzywa stożkowa — elipsa opisana zwięzłym wzorem. Rządzi tym prawo powszechnego ciążenia:

Ale już dla trzech ciał nie istnieje ogólny wzór na tor ruchu — układ trzeba całkować numerycznie krok po kroku, dokładnie tak jak robi to ta symulacja.

Poincaré i narodziny teorii chaosu:

Badając stabilność Układu Słonecznego w konkursie króla Szwecji Oscara II, Henri Poincaré odkrył (praca nagrodzona w 1889, opublikowana w 1890), że układ trzech ciał może zachowywać się chaotycznie: jest w pełni deterministyczny, a mimo to tak wrażliwy na warunki początkowe, że długoterminowe przewidywanie jest niemożliwe. Była to pierwsza matematyczna analiza chaosu — na długo przed Edwardem Lorenzem.

Niezmiennik — co pozostaje pewne:

Choć samego toru nie da się przewidzieć, zachowane są całkowita energia i całkowity pęd układu (oraz położenie środka masy przy zerowym pędzie):

Na wykresie po prawej stronie sceny $E$ i $|\vec p|$ pozostają płaskie — to niezmienniki, mimo że tor jest nieprzewidywalny.

Gdzie to widać?

Problem trzech ciał ma realne znaczenie astronomiczne — stabilność orbit, misje kosmiczne wykorzystujące „asysty grawitacyjne" — i kulturowe: to tytuł słynnej powieści science fiction Liu Cixina. Pokazuje granicę przewidywalności nawet w „deterministycznym" świecie fizyki.

Po co Ci to na maturze:

To wzorcowy przykład różnicy między rozwiązaniem wzorem (dwa ciała → elipsa) a symulacją numeryczną (trzy ciała → chaos). Zapamiętaj prawo ciążenia $F = G\,m_1 m_2 / r^2$ oraz to, że determinizm nie oznacza przewidywalności.

Zapamiętaj: dla dwóch ciał orbita to elipsa dana wzorem; dla trzech ogólnego wzoru na tor nie ma — ruch bywa chaotyczny (Poincaré, 1890), choć energia i pęd zawsze pozostają zachowane.