Prawa Keplera

Co się właśnie stało?

Planeta krąży po elipsie, a Słońce siedzi w jej ognisku — nie w środku. Blisko Słońca (peryhelium) pędzi najszybciej, daleko (aphelium) zwalnia. Dwa zacieniowane wycinki mają równe pola, bo planeta zamiata je w tym samym czasie.

I prawo (kształt orbity):

Orbita każdej planety to elipsa, w której jednym z ognisk znajduje się Słońce. Mimośród $e$ mówi, jak bardzo elipsa jest spłaszczona: $e=0$ to okrąg, $e\to 1$ to bardzo wydłużona elipsa.

III prawo (okres a rozmiar orbity):

Kwadrat okresu obiegu jest proporcjonalny do sześcianu półosi wielkiej. Ta sama stała obowiązuje dla wszystkich planet danego układu — dlatego dalsze planety krążą wolniej. W jednostkach, gdzie $a$ jest w j.a., a $T$ w latach, wychodzi $T=a^{3/2}$.

II prawo (zachowanie momentu pędu):

Prędkość polowa (pole zamiatane w jednostce czasu) jest stała — to inny zapis zachowania momentu pędu. Gdy $r$ maleje, prędkość kątowa musi wzrosnąć, więc w peryhelium planeta gna najszybciej. Łączy się to z prawem powszechnego ciążenia: to grawitacja Słońca zakrzywia tor w elipsę i utrzymuje ruch.

Po co Ci to na maturze:

III prawo $T^2/a^3=\text{const}$ rozwiązuje zadania „porównaj okresy/odległości dwóch planet lub satelitów", a II prawo tłumaczy, dlaczego prędkość zmienia się wzdłuż orbity. Chwyt: zapisz stałą dla jednego ciała i przyrównaj do drugiego.

Zapamiętaj: orbita to elipsa ze Słońcem w ognisku, $T^2/a^3$ jest stałe dla całego układu, a planeta jest najszybsza w peryhelium.