Wirtualne laboratorium/Matematyka/Kombinatoryka/Permutacje, wariacje, kombinacje

Permutacje, wariacje, kombinacje

Który model wybrać? Odpowiedz na dwa pytania: czy kolejność ma znaczenie i czy elementy mogą się powtarzać. Przełączaj opcje i zobacz właściwy wzór.

Permutacje, wariacje, kombinacje
Matematyka · Kombinatoryka · Permutacje, wariacje, kombinacje
Kolejność ma znaczenie?
Powtórzenia dozwolone?
Liczba elementów nn5
Wybieramy kk3
Gdy kolejność wyboru nie ma znaczenie (wybieramy podzbiór), liczymy:
kolejność
ważna
powtórzenia
nie
model
Wariacje
liczba wyników
60
🎯 Wyzwanie: policz wynik
seria: 0

Dam Ci model (kolejność + powtórzenia) oraz n i k — policz liczbę wyników i wybierz poprawną wartość.

Co się właśnie stało?

O tym, czym liczymy, decydują dwa pytania: czy kolejność ma znaczenie? oraz czy elementy mogą się powtarzać? Zmiana jednego toggla przełącza model i liczbę wyników.

Kombinacje — kolejność nieważna:

Wybieramy podzbiór k elementów spośród n. {A,B}\{A,B\} i {B,A}\{B,A\} to ten sam wybór, więc dzielimy przez k!k! ustawień:

Cnk=(nk)=n!k! (n−k)!C_n^k=\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}

Wariacje — kolejność ważna:

Uporządkowany ciąg k elementów. Bez powtórzeń każdy element bierzemy raz, z powtórzeniami — dowolnie wiele razy:

Vnk=n!(n−k)!V‾nk=nkV_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!}\qquad \overline{V}_n^k=n^k

Permutacje — ustawienie wszystkich n:

Szczególny przypadek wariacji bez powtórzeń dla k=nk=n — porządkujemy wszystkie elementy:

Pn=n!P_n=n!

Drzewo decyzyjne — którego modelu użyć?

Kolejność nieważna ⇒ kombinacje CnkC_n^k (bez powt.) lub Cn+k−1kC_{n+k-1}^{k} (z powt.). Kolejność ważna ⇒ wariacje: n!(n−k)!\tfrac{n!}{(n-k)!} (bez powt.) lub nkn^k (z powt.); a gdy bierzemy wszystkie (k=nk=n) — permutacje n!n!.

Po co Ci to na maturze:

Zadania kombinatoryczne prawie zawsze sprowadzają się do zadania sobie tych dwóch pytań. Losowanie z urny bez zwracania, w którym kolejność nie gra roli, to kombinacje; kod PIN (kolejność ważna, cyfry mogą się powtarzać) to 10410^4 wariacji z powtórzeniami.

Zapamiętaj: najpierw pytaj o kolejność, potem o powtórzenia. Kolejność nieważna ⇒ kombinacje. To one dwa pytania rozstrzygają cały wybór modelu.

Model poglądowy · Wirtualne laboratorium NexTutor

Spodobał Ci się eksperyment? Udostępnij go.

Jest darmowy — podeślij znajomym ze szkoły.

Teoria i wzory

Cztery modele

Zależnie od tego, czy kolejność jest ważna i czy są powtórzenia:

  • permutacje nn elementów: Pn=n!P_n=n!
  • wariacje bez powtórzeń (kk z nn, kolejność ważna): n!(n−k)!\dfrac{n!}{(n-k)!}
  • wariacje z powtórzeniami: nkn^k
  • kombinacje (kolejność nieważna): (nk)=n!k! (n−k)!\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}

Jak wybrać

Najpierw pytaj o kolejność, potem o powtórzenia — dwie odpowiedzi wyznaczają właściwy wzór.

Oznaczenia: nn liczba elementów, kk liczba wybieranych, !! silnia.

Uczysz? Umieść ten eksperyment na swojej stronie.

Darmowy widget — wklej na stronę szkoły, bloga lub notatki. Linkuje do pełnej wersji.

Uczysz w klasie albo korepetujesz? Prowadź uczniów w NexTutor →

Najczęstsze pytania

›

Kiedy liczymy kombinacje?

Gdy kolejność wyboru NIE ma znaczenia (wybór podzbioru), np. skład komisji: C(n,k).

›

Czym różnią się wariacje od kombinacji?

W wariacjach kolejność ma znaczenie (ustawiamy), w kombinacjach nie (tylko wybieramy).

Teoria (klasa): MAT.4.4.1 → Lekcja maturalna: MAT.M.14.1 →

Powiązane eksperymenty

Reguła mnożenia →Symbol Newtona — symetria →Trójkąt Pascala →Zasada szufladkowa Dirichleta →Kostka Rubika — matematyka grup →