Problem sekretarki — reguła 37%

Co się właśnie stało?

Przeglądasz $n$ kandydatów pojedynczo, w losowej kolejności, i po każdym musisz od razu zdecydować „biorę” lub „odrzucam na zawsze” — bez możliwości powrotu. Chcesz wybrać najlepszego. Zaskakująco prosta i elegancka strategia optymalna: odrzuć pierwsze ~37% kandydatów, tylko ich obserwując i zapamiętując najlepszego jako „poprzeczkę”, a potem wybierz pierwszego, który przewyższy wszystkich dotychczasowych. Na scenie widać dwie fazy — obserwacji (odrzucania) i wyboru — rozdzielone progiem, oraz krzywą szansy sukcesu z wyraźnym maksimum przy 37%.

Optymalny próg odcięcia:

— odrzucasz pierwsze $n/e$ kandydatów (gdzie $e \approx 2{,}718$ to liczba Eulera), co dla dużych $n$ daje próg zbieżny do 37%.

Szansa wybrania najlepszego:

Ta strategia daje ~37% szansy (dokładnie $1/e$) na trafienie w absolutnie najlepszego kandydata — niezależnie od tego, czy jest ich 10, 100 czy milion! To niezwykłe, bo naiwnie wydawałoby się, że przy widzeniu każdego tylko raz szansa powinna być znikoma ($\approx 1/n$).

Dlaczego akurat 1/e? (niezmiennik)

Magiczna liczba $1/e$ (odwrotność liczby Eulera) pojawia się tu naturalnie z rachunku prawdopodobieństwa: maksymalizując $P(r)$ po progu $r$, otrzymujemy warunek, którego rozwiązanie dąży do $r/n = 1/e$. W tym punkcie także sama szansa sukcesu wynosi $1/e$. Panel po prawej pokazuje oba te słupki przyklejone do linii $1/e$ — i to niezależnie od $n$.

Historia i zastosowania

Problem sekretarki (znany też jako problem narzeczonej, problem sułtana czy „problem najlepszego wyboru”) to klasyczny problem optymalnego zatrzymania, spopularyzowany przez Martina Gardnera w 1960 r. Ma realne zastosowania w teorii decyzji, ekonomii, a nawet w życiowych wyborach (stąd żartobliwe „reguła 37%” dla randkowania — po obejrzeniu 37% opcji wybierz następną lepszą). To piękny przykład tego, jak matematyka daje konkretną, optymalną strategię w sytuacji pozornie beznadziejnej.

Po co Ci to na maturze:

To rozszerzenie tematu prawdopodobieństwa i liczby $e$. Pokazuje, że nawet przy nieodwracalnych decyzjach „na żywo” prosta reguła progowa bije wybór losowy — i że stała $e$ wyskakuje w miejscach, gdzie zupełnie się jej nie spodziewamy.

Zapamiętaj: obserwuj i odrzucaj pierwsze $n/e \approx 37\%$, potem bierz pierwszego lepszego. Szansa na najlepszego: $1/e \approx 37\%$.