Liczba e — granica i procent składany

Co się właśnie stało?

Przesunąłeś suwak na bardzo częstą kapitalizację odsetek. Kapitał po roku rósł, ale coraz wolniej — mnożnik nie „uciekł" do nieskończoności, tylko osiadł tuż przy jednej, konkretnej liczbie niewymiernej.

Procent składany i granica ciągu:

Przy oprocentowaniu 100% rocznie, kapitalizując odsetki n razy w roku, kapitał po roku wynosi $(1+1/n)^n$ razy więcej niż na początku. Dla n=1 to 2×, dla n=12 to już ok. 2,613×, a dla n→∞:

— ciąg jest rosnący i ograniczony z góry, więc ma granicę skończoną. Tą granicą jest właśnie liczba $e$.

Skąd wzięła się liczba e?

Jacob Bernoulli natknął się na tę stałą pod koniec XVII w., badając dokładnie ten problem: ile zarobimy, kapitalizując odsetki coraz częściej? Zauważył, że wynik zbiega do pewnej granicznej wartości, ale nie potrafił jej dokładnie wyznaczyć. Dopiero Leonhard Euler w XVIII w. — w dziele „Introductio in analysin infinitorum" (1748 r.) — nadał tej stałej oznaczenie „e", obliczył ją z dużą dokładnością (18 miejsc po przecinku) i wykazał jej fundamentalne znaczenie w matematyce.

Dlaczego nie rośnie do nieskończoności?

Częstsza kapitalizacja rzeczywiście zwiększa kapitał — ale przyrost każdej kolejnej kapitalizacji jest coraz mniejszy, bo dzielimy to samo 100% na coraz więcej, coraz krótszych okresów. Suma tych malejących przyrostów jest ograniczona, dlatego ciąg $(1+1/n)^n$ rośnie, lecz zbiega do stałej — nie eksploduje.

Po co Ci to na maturze:

e to podstawa logarytmu naturalnego $\ln$ i jedna z najważniejszych stałych matematycznych obok π. Pojawia się w rachunku różniczkowym — funkcja $e^x$ jest jedyną funkcją równą swojej własnej pochodnej: $(e^x)' = e^x$ — a także w statystyce (rozkład normalny), fizyce i wielu innych dziedzinach.

Zapamiętaj: $(1+1/n)^n \to e \approx 2{,}71828$ przy n→∞ — granica ta jest zawsze dokładnie taka sama, niezależnie od tego, jak szybko n rośnie do nieskończoności.