Hotel Hilberta — nieskończoność w praktyce

Co się właśnie stało?

Hotel ma nieskończenie wiele pokoi (ponumerowanych $1, 2, 3, \dots$) i wszystkie są zajęte. W skończonym hotelu „komplet” oznacza „brak miejsca”. Ale tutaj wystarczy poprosić każdego gościa, by przeszedł o jeden pokój dalej: gość z pokoju $n$ idzie do pokoju $n+1$. Nikt nie zostaje bez pokoju — a pokój 1 właśnie się zwolnił dla nowego gościa.

Arytmetyka nieskończoności:

Dodanie jednego elementu (a nawet nieskończenie wielu) do przeliczalnej nieskończoności daje wciąż tę samą przeliczalną nieskończoność — oznaczaną $\aleph_0$ („alef zero”, najmniejsza nieskończona liczba kardynalna).

A jeśli przyjedzie nieskończenie wielu nowych gości?

Nadal się zmieszczą. Każdy dotychczasowy gość przechodzi z pokoju $n$ do pokoju $2n$ — zajmując tylko pokoje o numerach parzystych. Wszystkie pokoje nieparzyste ($1, 3, 5, \dots$, a jest ich nieskończenie wiele) stoją teraz puste, gotowe dla nieskończenie wielu nowych gości:

Skąd ten pomysł?

Ten myślowy eksperyment wymyślił David Hilbert (wykład „Über das Unendliche”, ok. 1924), by zilustrować kontrintuicyjne własności zbiorów nieskończonych. To praktyczny obraz tego, co Georg Cantor udowodnił wcześniej formalnie: zbiór liczb naturalnych, samych parzystych, czy liczb naturalnych powiększony o jeden element — wszystkie mają tę samą moc $\aleph_0$ (przeliczalna nieskończoność).

Po co Ci to na maturze:

Hotel Hilberta to najczytelniejszy sposób, by zrozumieć, że nieskończoność nie zachowuje się jak zwykła liczba — kluczowe przy pojęciu mocy zbioru, zbiorów przeliczalnych i różnicy między $\mathbb{N}$ a $\mathbb{R}$.

Zapamiętaj: w hotelu z przeliczalnie nieskończoną liczbą pokoi zawsze da się zrobić miejsce — bo $\aleph_0$ „plus jeden”, a nawet „plus nieskończoność”, to wciąż $\aleph_0$.