Nieskończoności Cantora

Co się właśnie stało?

Zbiory $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$ i $\mathbb{Q}$ udało się ustawić w policzalny ciąg — każda liczba w końcu dostaje swój numer porządkowy. To zaskakujące zwłaszcza dla $\mathbb{Q}$: między dowolnymi dwiema liczbami wymiernymi jest ich nieskończenie wiele, a jednak dają się ponumerować, wyliczając ułamki po przekątnych siatki. Natomiast dla $\mathbb{R}$ żadna lista nigdy nie jest kompletna — zawsze da się skonstruować liczbę, której na niej nie ma.

Hierarchia zbiorów liczbowych:

Mimo tej inkluzji, moc (rozmiar nieskończoności) pierwszych trzech zbiorów jest identyczna — nazywamy ją $\aleph_0$ („alef zero”, najmniejsza liczba kardynalna nieskończona):

Argument przekątniowy Cantora (1891):

Załóżmy (dla sprzeczności), że dało się ponumerować wszystkie liczby rzeczywiste z przedziału (0, 1) jako listę $x_1, x_2, x_3, \dots$. Budujemy nową liczbę $y$, biorąc i-tą cyfrę po przecinku liczby $x_i$ i ją zmieniając:

Liczba $y$ różni się od $x_1$ na 1. cyfrze, od $x_2$ na 2. cyfrze, od $x_3$ na 3. cyfrze — i tak dalej. Więc $y$ różni się od KAŻDEJ liczby na liście, czyli nie ma jej na liście. Ale $y \in (0,1)$, a lista miała zawierać wszystkie takie liczby — sprzeczność. Zatem żadna lista nie może być kompletna: $\mathbb{R}$ jest nieprzeliczalny.

Skąd wziął się opór wobec tego odkrycia?

Gdy Georg Cantor opublikował te wyniki (1874 i 1891), część ówczesnych matematyków — na czele z Leopoldem Kroneckerem — ostro je krytykowała, uznając różne „rozmiary” nieskończoności za filozoficznie niepokojące, wręcz nie do przyjęcia. Dziś teoria mnogości Cantora jest fundamentem całej współczesnej matematyki.

Po co Ci to na maturze:

Rozróżnienie zbiorów przeliczalnych i nieprzeliczalnych to podstawa rozumienia, czym różnią się liczby wymierne od niewymiernych i rzeczywistych — przydaje się przy dowodach niewymierności oraz w zadaniach o gęstości zbiorów liczbowych.

Zapamiętaj: $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ zawsze da się ustawić w policzalny ciąg (moc $\aleph_0$) — $\mathbb{R}$ nigdy się nie da (moc continuum, większa nieskończoność).