π zawiera wszystko — liczby normalne

Co się właśnie stało?

Szukaliśmy krótkich ciągów cyfr w rozwinięciu $\pi = 3{,}14159265\ldots$ — i znajdowaliśmy je: „14" na pozycji 1, „159" na pozycji 3, a nawet sześć dziewiątek „999999" na pozycji 762 (tzw. punkt Feynmana). Niektóre dłuższe ciągi (jak „2718") nie mieszczą się w pierwszych 1000 cyfr — ale prawdopodobnie czekają gdzieś dalej.

Liczba „normalna" — czym jest?

Liczba normalna to taka, w której nieskończonym rozwinięciu dziesiętnym wszystkie cyfry i wszystkie skończone sekwencje cyfr pojawiają się z jednakową, „sprawiedliwą" częstością — jakby cyfry były wynikiem rzutów kostką. Pojęcie to wprowadził francuski matematyk Émile Borel w 1909 r. W szczególności każda z dziesięciu cyfr występuje z częstością:

każda para cyfr z częstością $\tfrac{1}{100}=1\%$, każda trójka $\tfrac{1}{1000}$ i tak dalej. (W panelu po prawej widać rozkład cyfr w pierwszych 1000 cyfr $\pi$ — każda krąży wokół 10%.)

Fascynująca konsekwencja

Jeśli liczba jest normalna, to w jej rozwinięciu znajdziemy KAŻDĄ skończoną sekwencję cyfr — swoją datę urodzenia, dowolny numer telefonu, a nawet (po zakodowaniu liter na cyfry) tekst dowolnej książki, całe dzieła Szekspira czy tę stronę! Skoro każda skończona sekwencja gdzieś się pojawia, to i dowolnie długi — byle skończony — ciąg też. Nieskończone, nieokresowe rozwinięcie „mieści wszystko".

Czy π jest normalna? To otwarta zagadka

Obliczono już ponad 100 bilionów cyfr $\pi$ i ich rozkład wygląda idealnie „normalnie" (każda cyfra ~10%, każda para ~1% itd.) — ale dowodu, że $\pi$ jest normalna, wciąż NIE MA. To jedna z wielu tajemnic tej stałej. Co ciekawe, matematycy udowodnili, że liczb normalnych jest „prawie tyle co wszystkich", a nawet skonstruowali konkretne przykłady — jak stała Champernowne'a $0{,}123456789101112\ldots$ — ale dla „naturalnych" stałych jak $\pi$, $e$ czy $\sqrt{2}$ normalność pozostaje nierozstrzygnięta.

Ważne zastrzeżenie: „w π jest wszystko" to własność liczb normalnych — a dla $\pi$ normalność jest (mocno wspieraną, lecz nieudowodnioną) hipotezą, nie twierdzeniem. I uwaga: normalność nie oznacza, że $\pi$ jest „przypadkowa" — $\pi$ jest w pełni określona, tylko jej cyfry rozkładają się statystycznie równomiernie.

Po co Ci to na maturze:

To rozszerzenie tematu rozwinięć dziesiętnych i liczb niewymiernych. Ucz się rozróżniać: rozwinięcie skończone lub okresowe ⇔ liczba wymierna; nieskończone i nieokresowe ⇔ niewymierna. „Normalność" idzie o krok dalej — mówi nie tylko, że rozwinięcie się nie kończy, lecz że cyfry są rozłożone idealnie równomiernie. To ćwiczy intuicję nieskończoności i różnicę między „udowodnione" a „bardzo prawdopodobne".

Zapamiętaj: w rozwinięciu liczby normalnej pojawia się każda skończona sekwencja cyfr (każda cyfra z częstością $\tfrac{1}{10}$). Dla $\pi$ normalność jest hipotezą — sprawdzoną na bilionach cyfr, lecz wciąż nieudowodnioną.