Liczby przestępne — π i e

Co się właśnie stało?

Liczby rzeczywiste dzielą się na dwie klasy. Liczba algebraiczna to taka, która jest pierwiastkiem pewnego niezerowego wielomianu o współczynnikach wymiernych (całkowitych). Należą do niej wszystkie liczby wymierne — np. $\tfrac12$ jest pierwiastkiem równania $2x - 1 = 0$ — oraz część liczb niewymiernych, jak $\sqrt2$, $\sqrt[5]{7}$ czy złota liczba $\varphi$. Liczba przestępna to taka, która NIE jest pierwiastkiem żadnego takiego wielomianu — „przekracza” algebrę, stąd nazwa.

√2 jest algebraiczna — jest pierwiastkiem wielomianu wymiernego:

Choć $\sqrt2$ jest niewymierna, „domyka się” równaniem — dlatego zalicza się do liczb algebraicznych. Podobnie $\tfrac12$ spełnia $2x - 1 = 0$.

π i e są przestępne — żaden wielomian wymierny ich nie trafia:

Udowodnienie, że konkretna liczba jest przestępna, jest bardzo trudne. Charles Hermite jako pierwszy wykazał przestępność liczby $e$ (1873 r.), a Ferdinand von Lindemann przestępność $\pi$ (1882 r.) — co przy okazji rozstrzygnęło starożytny problem kwadratury koła: jest niemożliwa cyrklem i linijką właśnie dlatego, że $\pi$ jest przestępna.

Zaskakująca proporcja:

Georg Cantor pokazał, że liczb algebraicznych jest tylko przeliczalnie wiele (moc $\aleph_0$), a liczb rzeczywistych — nieprzeliczalnie (moc continuum $\mathfrak{c} > \aleph_0$). Skoro algebraicznych jest „mało”, a rzeczywistych „nieporównanie więcej”, to prawie każda liczba rzeczywista jest przestępna — choć konkretnych przykładów znamy zaskakująco niewiele.

Po co Ci to na maturze:

Rozróżnienie liczb wymiernych, niewymiernych algebraicznych i przestępnych porządkuje świat liczb rzeczywistych i wraca w zadaniach o dowodach niewymierności, o pierwiastkach wielomianów oraz o tym, czego nie da się skonstruować cyrklem i linijką (jak kwadratura koła).

Zapamiętaj: liczba jest algebraiczna, gdy jest pierwiastkiem jakiegoś wielomianu o współczynnikach wymiernych (jak $\sqrt2$ dla $x^2-2$), a przestępna, gdy nie jest pierwiastkiem żadnego (jak $e$ i $\pi$). Przestępnych jest nieporównanie więcej.