Wzory/Grawitacja/Druga prędkość kosmiczna

Druga prędkość kosmiczna

PR
vII=2GMRv_{II} = \sqrt{\dfrac{2GM}{R}}

Jednostka wyniku: m/s (często podawana w km/s)

Co opisuje

Druga prędkość kosmiczna (prędkość ucieczki) to najmniejsza prędkość, jaką trzeba nadać ciału przy powierzchni planety, aby całkowicie uwolniło się z jej pola grawitacyjnego i oddaliło nieograniczenie daleko — czyli nie wróciło już na powierzchnię.

Oznaczenia

vIIv_{II}
druga prędkość kosmiczna (prędkość ucieczki)
[m/s]
GG
stała grawitacji (≈6,67⋅10−11\approx 6{,}67\cdot10^{-11})
[N·m²/kg²]
MM
masa ciała centralnego (planety)
[kg]
RR
promień planety (odległość od jej środka)
[m]

Wyjaśnienie

Wyprowadzamy ją z zasady zachowania energii. Aby ciało „uciekło”, jego energia kinetyczna musi wystarczyć na pokonanie przyciągania grawitacyjnego: 12mv2=GMmR\dfrac{1}{2}mv^2=\dfrac{GMm}{R}. Masa ciała mm się skraca, zostaje v2=2GMRv^2=\dfrac{2GM}{R}, czyli vII=2GMRv_{II}=\sqrt{\dfrac{2GM}{R}}. Porównując z pierwszą prędkością kosmiczną, widać prostą zależność: vII=2⋅vIv_{II}=\sqrt{2}\cdot v_I — druga prędkość jest 2\sqrt2 (≈1,41\approx1{,}41) razy większa od pierwszej.

Kiedy stosować

Gdy pytamy, jaka prędkość pozwala na zawsze opuścić planetę (ucieczka z pola grawitacyjnego), a nie tylko wejść na orbitę. Dla Ziemi vII≈11,2v_{II}\approx11{,}2 km/s. Zawsze zachodzi vII=2⋅vIv_{II}=\sqrt{2}\cdot v_I.

Przykład

Oblicz drugą prędkość kosmiczną dla Ziemi.
PodstawienieM=5,97⋅1024M=5{,}97\cdot10^{24} kg, R=6,37⋅106R=6{,}37\cdot10^{6} m, G=6,67⋅10−11G=6{,}67\cdot10^{-11}.
WynikvII=2⋅6,67⋅10−11⋅5,97⋅10246,37⋅106≈1,12⋅104v_{II}=\sqrt{\dfrac{2\cdot6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}97\cdot10^{24}}{6{,}37\cdot10^{6}}}\approx1{,}12\cdot10^{4} m/s ≈11,2\approx11{,}2 km/s. (Sprawdzenie: 2⋅7,9\sqrt2\cdot7{,}9 km/s ≈11,2\approx11{,}2 km/s.)

Powiązane wzory

Pierwsza prędkość kosmiczna Prawo powszechnego ciążenia Przyspieszenie grawitacyjne

Przydał się ten wzór? Udostępnij.

Jest za darmo — podeślij komuś ze studiów.

Uczysz? Umieść ten wzór na swojej stronie.

Darmowy widget — wklej na stronę szkoły, bloga lub notatki. Linkuje do pełnej wersji.

Uczysz w klasie albo korepetujesz? Prowadź uczniów w NexTutor →