Wzory/Planimetria/Twierdzenie sinusów

Twierdzenie sinusów

PR
asin⁡α=bsin⁡β=csin⁡γ=2R\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}=\dfrac{c}{\sin\gamma}=2R

Jednostka wyniku: jednostki długości

Co opisuje

Stosunek boku do sinusa przeciwległego kąta jest stały i równy średnicy okręgu opisanego.

Oznaczenia

a,b,ca, b, c
boki trójkąta
α,β,γ\alpha,\beta,\gamma
kąty naprzeciw boków
RR
promień okręgu opisanego

Wyjaśnienie

W dowolnym trójkącie stosunek boku do sinusa przeciwległego kąta jest stały i równy średnicy okręgu opisanego (2R2R). Łączy boki z kątami.

Kiedy stosować

Trójkąty (niekoniecznie prostokątne), gdy znasz bok i dwa kąty lub dwa boki i kąt.

Przykład

W trójkącie a=10a=10, α=30∘\alpha=30^\circ, β=45∘\beta=45^\circ. Oblicz bok bb.
Podstawienieb=asin⁡βsin⁡α=10⋅sin⁡45∘sin⁡30∘b=\dfrac{a\sin\beta}{\sin\alpha}=\dfrac{10\cdot\sin45^\circ}{\sin30^\circ}.
Wynikb=10⋅0,7070,5≈14,1b=10\cdot\dfrac{0{,}707}{0{,}5}\approx14{,}1.

Powiązane wzory

Twierdzenie cosinusów Pole trójkąta (dwa boki i kąt)

Przydał się ten wzór? Udostępnij.

Jest za darmo — podeślij komuś ze studiów.

Uczysz? Umieść ten wzór na swojej stronie.

Darmowy widget — wklej na stronę szkoły, bloga lub notatki. Linkuje do pełnej wersji.

Uczysz w klasie albo korepetujesz? Prowadź uczniów w NexTutor →