GPS a teoria względności

To rozszerzenie szkolnego tematu dylatacji czasu i pola grawitacyjnego — poza programem. Zmieniaj prędkość i wysokość satelity: efekt szczególny (ruch) spowalnia zegar, ogólny (grawitacja) go przyspiesza; wypadkowo ok. +38 μs/dobę. Bez korekty błąd pozycji rośnie o kilometry dziennie.

Fizyka · Fizyka współczesna · GPS a teoria względności (FIZ.REL.PR.05)

Prędkość satelity

v

3.9 km/s

Wysokość orbity

h

20200 km

Bez poprawek relatywistycznych GPS w ciągu doby myliłby się o…

zegar SR (ruch)

-7.3 μs/d

zegar GR (grawit.)

+45.7 μs/d

suma Δt

+38.4 μs/d

błąd pozycji

11.5 km/d

Co się właśnie stało?

Zegar na satelicie tyka inaczej niż na Ziemi z dwóch niezależnych powodów. Ruch (teoria szczególna) spowalnia go, a słabsze pole grawitacyjne wysoko nad Ziemią (teoria ogólna) przyspiesza. Dla orbity GPS grawitacja wygrywa i zegar spieszy o około +38 μs na dobę.

Poprawka szczególna (ruch):

\frac{\Delta t_{SR}}{t} = -\frac{v^2}{2c^2} \;<\; 0

— im szybciej porusza się zegar, tym wolniej idzie (dylatacja czasu). To człon ujemny: satelita „traci" czas względem powierzchni.

Poprawka ogólna (grawitacja):

\frac{\Delta t_{GR}}{t} = \frac{\Delta\Phi}{c^2} \approx \frac{g\,h}{c^2} \;>\; 0,\qquad \Delta\Phi = GM\!\left(\frac{1}{R_Z}-\frac{1}{R_Z+h}\right)

— im słabsze pole grawitacyjne (wyżej nad Ziemią), tym szybciej idzie zegar. To człon dodatni. Oba efekty mają przeciwne znaki, więc się częściowo znoszą.

Wypadkowa i błąd pozycji:

\Delta t = \Delta t_{GR} + \Delta t_{SR} \approx +38\ \mu\text{s/dobę}, \qquad \Delta x = c\cdot\Delta t \approx 11\ \text{km/dobę}

GPS wyznacza położenie z czasu, w jakim sygnał dolatuje do odbiornika. Nieskorygowane 38 μs to droga światła $c\cdot\Delta t$ — kilkanaście kilometrów błędu każdej doby. Dlatego zegary atomowe satelitów są fabrycznie „rozstrojone", by po uwzględnieniu względności chodziły równo.

Po co Ci to na maturze:

GPS to najczystszy przykład, że obie teorie względności działają w codziennej technologii — nie są abstrakcją. Rozszerza temat dylatacji czasu (człon $v^2/2c^2$ ) i wpływu pola grawitacyjnego na upływ czasu (człon $gh/c^2$ ): umiesz wskazać znak każdego efektu i policzyć skalę.

Zapamiętaj: ruch zegar spowalnia (−), słabsze pole grawitacyjne przyspiesza (+); dla GPS suma ≈ +38 μs/dobę, a błąd pozycji to c·Δt ≈ 11 km na dobę.

Model poglądowy · Wirtualne laboratorium NexTutor

Najczęstsze pytania

›

Czemu zegar na orbicie idzie inaczej?

Ruch (STW) spowalnia go o −v²/2c², a słabsze pole grawitacyjne (OTW) przyspiesza o +gh/c².

›

Który efekt jest większy?

Na orbicie GPS przeważa efekt grawitacyjny — zegar netto idzie szybciej (ok. +38 μs/dobę).

›

Jak GPS to koryguje?

Zegary satelitów są fabrycznie „przestrojone", by po uwzględnieniu relatywistyki wskazywały właściwy czas.

Teoria (klasa): FIZ.4.2.1 → Lekcja maturalna: FIZ.M.7.2 →

Powiązane eksperymenty

Dylatacja czasu →Pole grawitacyjne — natężenie a odległość →