Nierówność kwadratowa — znak trójmianu

Co decyduje o znaku trójmianu?

Dla funkcji kwadratowej $f(x)=ax^2+bx+c$ o współczynniku $a>0$ wykresem jest parabola ramionami skierowana do góry. To, czy przecina ona oś X, rozstrzyga wyróżnik:

Wyróżnik mówi o liczbie pierwiastków: $\Delta>0$ — dwa pierwiastki, $\Delta=0$ — jeden (podwójny), $\Delta<0$ — brak pierwiastków rzeczywistych.

Znak przy a > 0:

Gdy są pierwiastki $x_1<x_2$, trójmian jest ujemny między nimi i dodatni na zewnątrz:

Kluczowy przypadek — brak pierwiastków:

Jeśli $\Delta<0$, parabola nigdzie nie dotyka osi X, a przy $a>0$ leży w całości nad nią. Wtedy:

Po co Ci to na maturze:

Nierówności kwadratowe rozwiązujesz schematem: policz $\Delta$, znajdź pierwiastki, naszkicuj parabolę i odczytaj znak. Gdy $\Delta<0$ odpowiedź to zbiór pusty albo cała prosta — zależnie od znaku $a$ i kierunku nierówności.

Zapamiętaj: znak trójmianu zależy od znaku $a$ i wartości $\Delta$. Reguła: $a>0 \wedge \Delta<0 \Rightarrow ax^2+bx+c>0$ dla każdego x.