Problem bazylejski — π w sumie odwrotności kwadratów

Co się właśnie stało?

Dodawałeś kolejne odwrotności kwadratów: $1,\ \tfrac14,\ \tfrac19,\ \tfrac1{16},\dots$ Kolejne wyrazy kurczą się kwadratowo, więc suma częściowa bardzo szybko przestaje istotnie rosnąć i zatrzymuje się tuż pod pewnym sufitem. Ten sufit to dokładnie $\pi^2/6$ — i to jest największe zaskoczenie: liczba $\pi$, związana z okręgiem, pojawia się w czysto arytmetycznej sumie.

Problem bazylejski:

Chodzi o znalezienie dokładnej sumy szeregu odwrotności kwadratów. Postawił go Pietro Mengoli w 1644 r., a przez blisko 90 lat próbowali go rozwiązać najwybitniejsi matematycy (m.in. Bernoulli), bez skutku. Nazwa pochodzi od szwajcarskiego miasta Bazylea, skąd wywodziła się zajmująca się nim rodzina Bernoullich.

Rozwiązanie Eulera (1735 r.):

Problem rozwiązał dopiero 28-letni Leonhard Euler, wykazując zdumiewający wynik: suma wynosi dokładnie $\pi^2/6 \approx 1{,}6449$. To osiągnięcie przyniosło mu natychmiastową sławę. Wynik zapoczątkował też badania nad funkcją dzeta Riemanna: w jej języku $\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\tfrac1{n^2}=\tfrac{\pi^2}{6}$ — jednym z filarów teorii liczb.

Zbieżny, a nie rozbieżny — dlaczego?

Porównaj z szeregiem harmonicznym $1+\tfrac12+\tfrac13+\dots$, który jest rozbieżny (suma dąży do nieskończoności). Tam wyrazy $1/n$ maleją zbyt wolno. Tu wyrazy $1/n^2$ maleją znacznie szybciej — kwadratowo — i to wystarcza, by suma była skończona. Szereg $\sum 1/n^2$ jest więc zbieżny, a jego granicą jest właśnie $\pi^2/6$.

Po co Ci to na maturze:

To sztandarowa para do zapamiętania: $\sum 1/n$ — rozbieżny, $\sum 1/n^2$ — zbieżny. Tempo malenia wyrazów decyduje o zbieżności szeregu. Sam warunek $a_n\to 0$ nie wystarcza — liczy się, jak szybko maleją.

Zapamiętaj: szereg $\sum_{n=1}^{\infty} 1/n^2$ jest zbieżny, a jego suma wynosi dokładnie $\pi^2/6 \approx 1{,}6449$. Zaskakujące pojawienie się $\pi$ w sumie odwrotności kwadratów to jeden z najpiękniejszych wyników matematyki (Euler, 1735).